2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分，满分30分；每小题只有一个正确选项．）1.C 解析：将a前面添加“－”，即可得到a的相反数．点评：本题考查了相反数，解题的关键是相反数的概念．2.B 解析：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B点评:此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．3.A 解析：分别在数轴上表示x≥－1和x＜2．x≥－1实心向右，x＜2空心向左．点评：本题考查了不等式组的解法并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是会寻找两个不等式解集的公共部分．4.D 解析：计算3.8×107－3.7×107时，将10看作字母a，计算这个问题相当于解3.8a7－3.7a7，合并同类项得0.1×107，然后表示成科学记数法的形式．点评：本题考查了合并同类项和科学记数法，解题的关键是掌握合并同类项法则和科学记数法．5.A解析：A项扇形统计图能够显示部分在总体中所占百分比；B项条形统计图能够看出每组数据具体数值的多少；C项折线图能够看出一组数据的变化趋势；D项能够看出数据在每个范围内的分布情况．点评：本题考查了扇形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图的特征．6.C 解析：a·a－1＝a1－1＝a0＝1．点评：本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是会运用同底数幂乘法公式解决问题．7.B 解析：由于两个点关于一条坐标轴对称，坐标轴是网格线，可以发现点A、点C的对称轴经过点B，以B点为原点，建立的平面直角坐标系，点A、点C必定关于经过点B的y 轴对称．点评：本题考查了建立平面直角坐标表示轴对称，解题的关键是找到可以关于坐标轴对称的两个点．8.B 解析：分别为点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，实际上是线段CD 的垂直平分线的作法．MA D C B由作法不难看出CA ＝CM ＝CB ，因此∠A ＝∠CMA ，∠B ＝∠BMC ，由于∠A ＋∠CMA ＋∠B ＋∠BMC ＝180°，因此∠CMA ＋∠BMC ＝90°点评：本题考查了垂直平分线的尺规作图作法，解题的关键是准确画出图形，找出图中线段间的数量关系．9.C 解析：（1）当x ＝0时，平均数是2，中位数是2，符合题意；（2）当x ＝2.5时，平均数是2.5，中位数是2.5，符合题意；（3）当x ＝3时，平均数是2.6，中位数是3，不符合题意；（4）当x ＝5时，平均数是3，中位数是3，符合题意．点评：本题考查了平均数和中位数之间的关系，解题的关键是会用排除法解决问题．10.D 解析：若正比例函数过(1，－4)，(2，－2)两点，则这个正比例函数不存在；若一次函数、反比例函数过(1，－4)，(2，－2)两点，那么这些函数的函数值y 随x 的增大而增大．若二次函数过(1，－4)，(2，－2)点评：本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分） 11.(a ＋3)(a －3)解析：a 2－9＝a 2－32＝(a ＋3)(a －3)点评：本题考查了分解因式，解题的关键是了解平方差公式特点． 12.x 2＋x －2解析：将第一个括号里面的每一项依次与第二个括号里面的每一项分别相乘． 解：(x －1)(x ＋2)＝x 2＋2x －x －2＝x 2＋x －2．点评：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则． 13.6y x =解析：设反比例函数的解析式为k y x =，∵双曲线ky x=经过点A (－2，－3)， ∴32k -=-，解得k ＝6．∴反比例函数的解析式为6y x =．点评：本题考查了反比例函数解析式的确定，解题的关键是会用待定系数法求反比例函数的解析式．14.0 解析：应用方差公式计算或应用“一列相等的数的方差为0”解题．点评：本题考查了方差，解题的关键是熟记方差公式或掌握方程的性质．15.解析：设圆柱的底面半径为r ．∵圆柱底面周长为2π，∴r ＝1．∴正方体的体积为．点评：本题考查了圆内接正方形的边角关系，解题的关键是求出正方体的棱长． 16.31+解析：连接AM ，设BM 与AC 相交于点D ．∵Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝2．∵∠ACM ＝60°，AC ＝CM ＝2．∴△ACM 是等边三角形．∴MC ＝MA ． ∵AB ＝BC ，∴BM 垂直平分AC ．∴DM ＝AM ×sin60°＝3．又∵BD ＝12AC ＝1，∴BM ＝BD ＋DM ＝31+． 点评：本题考查了等边三角形的判定、等腰直角三角形和轴对称，解题的关键是能够判断出△ACM 是等边三角形三、解答题（共10小题，满分96分） 17.解析：2015(1)1-=-，sin30°＝12，(23)(23)-+＝222(3)431-=-=． 解：原式＝11(43)2=-++-12=．点评：本题考查了乘方、三角函数值以及二次根式的乘法，解题的关键是数量掌握这些基本运算法则．18.解析：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，然后再化简约分．解：原式22222()2a b ab a b a b +-++222222a ab b ab a b ++-=+2222a b a b +=+＝1．点评：本题考查了同分母分式的减法，解题的关键是正确运用分式运算的法则．19.解析：要证AC ＝AD ，就要证△ABC ≌△ABD ，由于这两个三角形有公共边，设法用角边角来证明．证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC ＝∠ABD ．在△ABC 和△ABD 中，AB AB ABC ABD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩12，∴△ABC ≌△ABD (ASA) ． ∴AC ＝AD ．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是找准判定全等的条件．D20.解析：根据一元二次方程有两个相等的实数根得出根的判别式等于零． 解：∵关于x 的方程2(21)40x m x +-+=有两个相等的实数根，∴△2(21)4140m =--⨯⨯=． ∴214m -=±． ∴52m =或32m =-． 点评：本题考查了利用一元二次方程根的判别式求方程中的参数，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式定理．21.解析：设参加篮球、排球各有x ，y 支参赛，根据共有48支队，以及共有520人这两个相等关系列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 解：方法一：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛，由题意得481012520x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2820x y =⎧⎨=⎩．答：篮球、排球队各有28支与20支参赛． 方法二：设有x 支篮球队，则有(48－x )支排球队参赛，由题意得10x ＋12(48－x )＝520， 解得x ＝28．∴48－x ＝48－28＝20．答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．点评：本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目能够反应题目全部含义的一个或两个相等关系．22.解析：弄清楚各种情形下的所有的等可能事件和满足一定条件的情形，然后根据概率的公式进行计算． 解：（1）相同； （2）2；（3）由树状图可知：共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中两次摸出的球颜色不同（记为事件A ）的结果共有10种， ∴P (A ) 105126==． 点评：本题考查了概率的有关计算，解题的关键是知晓如何计算简单事件的概率．23.解析：（1）用圆心到直线的距离等于圆的半径来证明直线AB 是⊙C 的切线；（2）用规则图形面积的代数和来表示阴影部分的面积． 解：（1）如图所示，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，tan B 12AC BC ==， ∴BC ＝2AC ＝25 ∴2222(5)(25)5AB AC BC =+=+=，∴5252AC BC CF AB ⋅⨯===． 又∵⊙C 的半径为2，∴AB 为⊙C 的切线． （2）ABC CDE S S S ∆=-阴影扇形212360n r AC BC π=⋅- 219025252360π⨯=5π=-．点评：本题考查了切线的判定以及与圆有关的阴影部分面积的计算，解题的关键是运用正确的方法判定圆的切线以及用割补法求不规则图形的面积． 24.236 解：（1）由轴对称的性质可知CH ＝GH ，∠BGH ＝∠C ＝90°， 又由于四边形ABCD 为正方形， ∴∠BDC ＝45°．∴△DGH 为等腰直角三角形． ∴GD ＝GH ．因此第一处的答案应该是GH ，DG ．设CH ＝a ，则DH 2a ，所以CD ＝21)a ，∴tan ∠HBC ＝21(21)CH BC a ==+．21．（2）证明：∵22BF =，BC ＝1，∴BD222226==()122BF BC ++=．由折叠的性质可知：BP ＝BC ＝1，∠FNM ＝∠BNM ＝90°，则四边形BCEF 为矩形． ∴∠BNM ＝∠F ． ∴MN ∥EF ．∴BP BNBE BF =，即BP·BF ＝BE·BN ．∴62BN =． ∴3BN =．∴:1:3:13BC BN ==．∴四边形BCMN 为3矩形．（3）仿照（1）（2）的操作，可得第1次操作后得到4矩形； 第2次操作后得到5矩形；第3次操作后得到6矩形． 故此处填6．点评：本题考查了矩形的折叠以及新概念n 矩形，解题的关键是掌握矩形折叠的步骤以及每次折叠中图形中的数量关系和位置关系．25.解析：（1）DA 和DM 是△ADM 的两边，可考虑利用“等角对等边”来给出证明过程； （2）要证明△DGE ∽△EFC ，可通过证明两对相等的角，其中∠C ＝∠DEG 可由DE ∥AC 证得．接着证明∠EDG ＝∠FEC ，可通过证明∠BDG ＋∠ADE ＝∠BEF 完成证明． （3）思路1：可通过证明相似三角形分别证得BD2＝BE·BG 和EF2＝EH·EC ，然后利用BD ＝EF 和BE ＝EF 证明得到EH ＝BG ＝1．思路2：由于BD ＝EF ，∠BDG ＝∠FEH ，可借助这两个条件构造全等三角形，即在DG 上取一点N ，使得DN ＝FH ．可证明△BDN ≌△FEH ，最后证明BN ＝EH 和BN ＝BG ．思路3：取AC 的中点P ，设法证明四边形DGHP 是平行四边形，即可证明EG 和BE 都等于BC 的一半，即可证明EH ＝BG ＝1．思路4：利用∠C ＝∠DEB ，BE ＝CE 构造全等三角形，可考虑作△EHF 的外接圆交AC 于另一点P ，连接PE 、PH ．证明：（1）∵DM∥EF，∴∠AMD＝∠AFE．∵∠AFE＝∠A．∴∠AMD＝∠A．∴DM＝DA．（2）∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC．∴∠DEG＝∠C，∠BDE＝∠A，∴∠BDE＝∠AFE．∴∠BDG＋∠GDE＝∠C＋∠FEC．∵∠BDG＝∠C，∴∠EDG＝∠FEC．∴△DEG∽△ECF．BE CFDM AG（3）如图所示，∵∠BDG＝∠C＝∠DEB，∠B＝∠B，∴△BDG∽△BED．∴BD BGBE BD=，即BD2＝BE·BG．∵∠A＝∠AFE，∠B＝∠CFH，∴∠C＝180°－∠AFE－∠CFH＝∠EFH．又∵∠FEH＝∠CEF，∴△EFH∽△ECF．∴EH EFEF EC=，即EF2＝EH·EC．∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形．∴EF＝DM＝AD＝BD．∵BE＝EC，∴EH＝BG＝1．解法2：如图所示，在DG上取一点N，使得DN＝FH．∵∠A＝∠AFE，∠ABC＝∠CFH，∠C＝∠BDG，∴∠EFH＝180°－∠AFE－∠CFH＝∠C＝∠BDG．∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形．∴EF＝DM＝AD＝BD．∴△BDN≌△EFH．∴BN＝EH，∠BND＝∠EHF．∴∠BNG＝∠FHC．∵∠BDG＝∠C，∠DBG＝∠CFH，∴∠BGD＝∠FHC．∴∠BNG＝∠BGD．∴BN＝BG．∴EH＝BG＝1．解法3：如图所示，取AC的中点P，连接PD、PE、PH，则PE∥AB．∴∠PEC＝∠B．∵∠CFH＝∠B，∴∠PEC＝∠CFH．又∵∠C＝∠C，∴△CEP∽△CFH．∴CE CP CF CH．∴△CEF∽△CPH．∴∠CFE＝∠CHP．由（2）可得∠CFE＝∠DGE，∴∠CHP＝∠DGE．∴PH∥DG．∵D、P分别为AB、AC的中点，∴DP∥GH，DP＝12BC＝BE．∴四边形DGHP是平行四边形．∴DP＝GH＝BE．∴EH＝BG＝1．解法4：如图所示，作△EHF的外接圆交AC于另一点P，连接PE、PH，则∠HPC＝∠HEF，∠FHC＝∠CPE．∵∠B＝∠CFH，∠C＝∠C，∴∠A＝∠CHF．∴∠A＝∠CPE．∴PE∥AB．∵DE∥AC，∴四边形ADEP是平行四边形．∴DE＝AP＝12AC．∴DE＝CP．∵∠GDE＝∠CEF，∠DEB＝∠C，∴∠GDE＝∠CPH．∴△DEG≌△PCH．∴GE＝HC．∴EH＝BG＝1．解法5：如图所示，取AC的中点P，连接PD、PE、PH，则PE∥AB．∴∠PEC＝∠B．又∵∠CFH＝∠B，∴∠PEC＝∠CFH．又∵∠C＝∠C，∴△CEP∽△CFH．∴CE CP CF CH．∴△CEF∽△CPH．∴∠CEF＝∠CPH．由（2）可得∠CEF＝∠EDG，∠C＝∠DEG．∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12AC ＝PC ．∴△DEG ≌△PCH ．∴GE ＝HC ． ∴EH ＝BG ＝1．点评：本题考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定，解题的关键是准确找出图中角度大小之间的关系．26.解析：（1）把a ＝1，b ＝－4代入2bx b =-，直线PQ 就是直线y ＝x ＋m ，与x 轴所夹锐角的度数为45°；（2）△POQ 与△PAQ 具有公共边PQ ，这两个三角形的面积之比是1∶3，就意味着这两个三角形的高的比为1∶3，即点O 、点A 到直线的距离之比为1∶3，利用相似的性质列出等式求m 的值；（3）①易得AC ⊥PQ ，可设法构造点Q 关于直线AC 的对称点H （过点C 作x 轴的平行线，与PQ 的交点即为Q 点），就将求PD ＋QD 的最大值转化为求线段PH 的最大值，过点P 作CH 的垂线段PM ，则△PMH 始终是一个等腰直角三角形，当PM 最大时，PH 也最大，因此当点P 为抛物线顶点时，PM 最大．②易证CD ＝QD ，因此PD·QD 的值等于△PCD 面积的2倍，设P 坐标为(p ，p2－4p)，所以PD·QD ＝2S △PCA＝CQ·|xA －xP|＝12m2－(2＋p)m ，其最大值为2(2)2p +，因此当p ＝4时，PD·QD 有最大值18．解：（1）（1）把a ＝1，b ＝－4代入2bx b =-，可得对称轴为x ＝2；直线PQ 就是直线y＝x ＋m ，与x 轴所夹锐角的度数为45°．（2）设直线PQ 交x 轴于点B ，分别过点O 、A 作PQ 的垂线，垂足分别为E 、F ．显然，当点B 在OA 的延长线上时，13OQP PAQS S ∆∆=不成立．①如图所示，当点B 落在线段OA 上时，1==3POQPAQS OE S AF ∆∆，由△OBE ∽△ABF 得1==3OB OE AB AF ，从而AB ＝3OB ．∴OB＝1 4OA．由24y x x=-得点A（4，0），从而OB＝1．∴B(1，0)．∴1＋m＝0．∴m＝－1．②如图所示，当点B落在线段AO的延长线上时，1==3POQPAQS OES AF∆∆，由△OBE∽△ABF得1==3OB OEAB AF，∴AB＝3OB．∴1=2OB OA．由24y x x=-得点A（4，0），∴OB＝2．∴B(－2，0)．∴－2＋m＝0．∴m＝2．综上所述，当m＝－1或2时，13OQP PAQS S∆∆=．（3）①如图所示，过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，则△CHQ是等腰三角形．∵∠CDQ＝45°＋45°＝90°，∴AD⊥PH．∴DQ＝DH．∴PD＋DQ＝PH．过点P作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形．∴2PH PM=．∴当PM最大时，PH最大．∴当点P在抛物线的顶点处时，PM取得最大值，此时PM＝6．∴PH的最大值为62，即PD＋DQ的最大值为62．解法2：如图所示，过点P作PE⊥x轴，交AC于点E，作PF⊥CQ于点F，则△PDE、△CDQ、△PFQ是等腰直角三角形．设点P(2,4x x x-)，则E(,4x x-+)，F(22,4x x-)．∴234PE x x=-++，PF＝PQ＝|2－x|．∴点Q(22,52x x-+)．∴25CQ x x =-+． ∴PD ＋DQ＝2 (PE ＋CQ)＝2(－2x2＋8x ＋4)22)x =-+0＜x ＜4）． ∴当x ＝2时，PD ＋DQ的最大值为．②由①可知：PD ＋DQ≤．设PD ＝a ，则DQ≤a ．∴PD·DQ≤22)(18a a a a =-+=--+． ∵当点P在抛物线的顶点时，a =∴PD·DQ≤18．∴PD·DQ 的最大值为18．附加说明：（对a 的取值范围的说明）设点P 的坐标为(n ，n2－4n)，延长PM 交AC 于N ．PD ＝a 2(4)]22PN n n n ==---2(34)2n n =---23()22n =--．∵2-＜0，0＜n ＜4， ∴当32n =∴0＜．点评：本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是能够综合运用二次函数知识和几何知识解决问题．。