高三函数综合题
1.已知函数f（x）=2x+2-x a（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．
2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．
3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．
4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．
答案详解
1.已知函数f（x）=2x+2-x a（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．解：（1）由a=-1，f（x）=4，可得2x-2-x=4，设2x=t，
则有t-t -1
=4，即t 2
-4t-1=0，解得t=2±5，当t=2+5时，有2x
=2+5，可得x=log 2(2+5)．
当t=2-5时，有2x
=2-5，此方程无解．故所求x 的值为log 2(2+5)．
（2）设x 1，x 2∈[1，+∞），且x 1＞x 2， 则f(x 1)-f(x 2)=(2x
1+2
-x 1
a)-(2x 2+2
-x 2
a)=(2x 1-2x
2)+
2
11
2
2
2
2
x x x x +-a=
2
12
1
2
2
2
x x x x +-(2
x 1+x
2
-a)
由x 1＞x 2，可得2x
1＞2x 2，即2x
1-2x
2＞0，由x 1，x 2∈[1，+∞），x 1＞x 2，得x 1+x 2＞2，故2x 1+x
2＞4＞0，
又a≤4，故2x 1+x 2＞a ，即2x 1+x
2-a ＞0，所以f （x 1）-f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故函数f （x ）在[1，+∞）上是增函数．
（3）因为函数f （x ）=2x +2-x
a ，存在x ∈[0，1]，
f （2x ）＞[f （x ）]2⇔22x +2-2x a ＞22x +2a+2-2x a 2⇔2-2x （a 2
-a ）+2a ＜0 设t=2-2x
，由x ∈[0，1]，可得t ∈[
4
1，1]，由存在x ∈[0，1]使得f （2x ）＞[f （x ）]2
， 可得存在t ∈[
4
1，1]，使得（a 2-a ）t+2a ＜0，令g （t ）=（a 2
-a ）t+2a ＜0， 故有g(
41)=4
1(a 2-a)+2a ＜0或g （1）=（a 2
-a ）+2a ＜0， 可得-7＜a ＜0．即所求a 的取值范围是（-7，0）．
2.已知函数f （x ）=x 2
+（x-1）|x-a|． （1）若a=-1，解方程f （x ）=1；
（2）若函数f （x ）在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
解析：（1）当a=-1时，f （x ）=x 2
+（x-1）|x+1|，故有，f(x)= ⎩⎨⎧-<-≥-11
1
122x x x ，
当x≥-1时，由f （x ）=1，有2x 2
-1=1，解得x=1，或x=-1． 当x ＜-1时，f （x ）=1恒成立， ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．
（2）f(x)= ⎩⎨⎧<-+≥++-a x a x a a
x a x a x )1()1(22
若f （x ）在R 上单调递增，则⎪⎩
⎪
⎨⎧>+≤+014
1
a a a ，解得a≥
31，∴当a≥3
1
时，f （x ）在R 上单调递增． （3）设g （x ）=f （x ）-（2x-3），则g(x)=⎩
⎨⎧<+--≥+++-a x a x a a
x a x a ,3)1(,3)3(2x 2，
不等式f （x ）
≥2x -3对一切实数x ∈R 恒成立，等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x ∈R 恒成立．∵a ＜1，
∴当x ∈（-∞，a ）时，g （x ）单调递减，其值域为（a 2-2a+3，+∞），∵a 2-2a+3=（a-1）2+2≥2，∴g （x ）≥0成立．
3.已知函数f （x ）=x|x-a|+2x-3．
（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f （x ）的最大值与最小值； （2）若x≥a，试求f （x ）+3＞0的解集；
（3）当x ∈[1，2]时，f （x ）≤2x -2恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：（1）当a=4时，f （x ）=x|x-4|+2x-3，
①2≤x＜4时，f （x ）=x （4-x ）+2x-3=-（x-3）2
+6， 当x=2时，f （x ）min =5；当x=3时，f （x ）max =6
②当4≤x≤5时，f （x ）=x （x-4）+2x-3=（x-1）2
-4， 当x=4时，f （x ）min =5；当x=5时，f （x ）max =12
综上所述，当x=2或4时，f （x ）min =5；当x=5时，f （x ）max =12 （2）若x≥a，f （x ）+3=x[x-（a-2）]，
当a ＞2时，x ＞a-2，或x ＜0，因为a ＞a-2，所以x≥a； 当a=2时，得x≠0，所以x≥a；
当a ＜2时，x ＞0，或x ＜a-2，①若0＜a ＜2，则x≥a；②若a≤0，则x ＞0 综上可知：当a ＞0时，所求不等式的解集为[a ，+∞）；（10分） 当a≤0时，所求不等式的解集为（0，+∞）（12分） （3）当x∈[1，2]时，f （x ）≤2x -2，即x•|x -a|≤1⇔-
x 1≤x -a≤x 1⇔x-x 1≤a≤x+x
1 因为x-
x
1
在x∈[1，2]上增，最大值是2-21=23，
x+
x
1
在x∈[1，2]上增，最小值是2，故只需23≤a≤2．故实数a 的取值范围是23≤a≤2．
4.已知函数f （x ）=x 2
-1，g （x ）=a|x-1|．
（1）若函数h （x ）=|f （x ）|-g （x ）只有一个零点，求实数a 的取值范围； （2）当a≥-3时，求函数h （x ）=|f （x ）|+g （x ）在区间[-2，2]上的最大值．
解：（1）∵函数h （x ）=|f （x ）|-g （x ）只有一个零点，即h （x ）=|f （x ）|-g （x ）=|x 2
-1|-a|x-1|只有一个零点，显然x=1是函数的零点，∴即|x+1|-a=0无实数根，∴a ＜0；
（2）h （x ）=|f （x ）|+g （x ）=）=|x 2
-1|+a|x-1|=⎪⎩
⎪⎨⎧-≤≤--+-<<-++--≤≤--+1211112
11222x a ax x x a ax x x a ax x ，
当1＜x≤2时，∵a≥-3，∴-
2a ≤2
3
，当x=2时，h （x ）的最大值为h （2）=a+3； 当-2≤x＜-1时，
2
a
≥-23，当x=-2时，h （x ）的最大值为h （-2）=3a+3；
当-1≤x≤1时，h （x ）的最大值为max{h （-1），h （1），h （-
2a ）}=max{2a ，0，41a 2+a+1}=4
1a 2
+a+1，
∴函数h （x ）最大值为h （a ）=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
+>+++<<+≤≤-+62414
1
6240330332a a a x a a a .。