可行域：由所有可行解组成的集合 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的 可行解
x 2y 8 4 x 16 4 y 12 x 0 y 0
变式：求利润z=x+3y的最大值. y
4 N （ 2， 3） 4
3
0
1 z y x 3 3
x 8 1 y x4 2
目标函数： Z=3x+y x-y=7 B（9,2）
y
x
y
6 0 0
6 D
O
C
当目标函数Z=3x+
A7
12
X
y经过点B（9,2）
时，此时Z取最大， Zmax=3*9+2=29
-7
2x+3y=24 l1 l0:3x+y=0
小 结
本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的最值问题 (1) 正确列出变量的不等关系式,准确作 出可行域是解决目标函数最值的关健 (2)线性目标函数的最值一般都是在可行 域的顶点或边界取得. (3)把目标函数转化为某一直线,其斜率 与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定 要弄清楚.
y
o
x
给定一定量的
精打细算 最优方案
人力.物力,
资金等资源
完成的任务量最大
经济效益最高
统筹安排
给定一项任务
所耗的人力.
最佳方案
物力资源最小 获取最大的利润
降低成本
问题1: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
把问题1的有关数据列表表示如下:
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
4 0 1 2
0 4 2 3
16 12 8
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
作业布置 P93习题3.3 A组3,4题
x 2y 8 4 x 16 4 y 12 x 0 y 0
y
4 3 4
8
x
0
将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内 所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y 都是有意义的.
问题：求利润2x+3y的最大值.
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少? 2 z 2 把z=2x+3y变形为y=- x+ ,这是斜率为- , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3
二、最优解一般在可行域的顶点处取得．
三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关．
讨论：解下列线性规划问题：
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y x x y 1 y 1
y x x y 1 y 1
当点P在可允许的取值范围变化时,
z 求截距 的最值,即可得z的最值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值 . y
x 2y 8 4 x 16 4 y 12 x 0 y 0
4 3
M（4，2）
4
0
x 8 1 y x4 2
4 2 2 3 14
相关概念
线性约束条件：变量x、y所满足的一次不等 式组或一次方程。
目标函数：欲求最大值或求最小值的的函数。 若目标函数是关于变量x、y的一次解析式，则
称为线性目标函数。
线性规划问题：在线性约束条件下求线
性目标函数的最大值或最小值问题。
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）
zmax 2 3 3 11
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
体验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解。
y
x+y=1
A
目标函数： Z=2x+y y=x
Zmin=-3
O B C
x
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
2x+y=0
Zmax=3
练习：
2、求z=3x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件 2x+3y 24 x-y
y
x
y
7 6 0
0
2x+3y 24 x-y
7
Y
8 y=6