圆的方程
（一）圆的定义及方程
1、圆的标准方程与一般方程的互化
（1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－
r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
（2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为：
(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2
)2＝
D 2＋
E 2－4F
4
①当D 2＋E 2－4F >0
时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，
1
2
D 2＋
E 2－4
F 为半径的
圆； ②当
D 2＋
E 2－4
F ＝0
时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D
2
，－
E
2
)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(三)直线与圆的位置关系
方法一：
方法二：
（四）圆与圆的位置关系
1 外离
2外切
3相交
4切
5含
（五）圆的参数方程
（六）温馨提示
1、方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是： （1）B ＝0； （2）A ＝C ≠0； （3）D 2＋E 2－4AF ＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上．
（3）两圆切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝
122x x + ，y ＝12
2
y y + .
考点一：有关圆的标准方程的求法
()()()2
2
20x a y b m m +++=≠的圆心是 ，半径是 .
【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4，则实数a 的取值围是( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
【例3】 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A ．x 2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
【例4】 圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( )
A ．(x －2)2＋y 2＝5
B ．x 2＋(y －2)2＝5
C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5
D ．x 2＋(y ＋2)2＝5
()()()()12240x x y y --+-+=，则圆心坐标为
【变式2】已知圆C 与圆()2
211x y -+=关于直线y x =- 对称，则圆C 的方程为
【变式3】 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －3)2＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －322＋(y －1)2＝1
【变式4】已知ABC ∆的顶点坐标分别是()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -，求ABC ∆外接圆的方程.
形结合思想的运用．
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】 若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值围是( )
A .14＜m ＜1
B ．m ＜14或m ＞1
C ．m ＜14
D ．m ＞1
【例2】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )
A ．x ＋y －1＝0
B ．x ＋y ＋3＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y ＋3＝0
【例3】 圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．
【变式1】 已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点，P 点关于直线
210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =
【变式2】 已知一个圆经过点()3,1A 、()1,3B -，且圆心在320x y --=上，求圆的方程.
【变式3】 平面直角坐标系中有()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B C D -四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的切圆方程为________________．
2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】 动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2＝32
B ．x 2＋y 2＝16
C ．(x －1)2＋y 2＝16
D ．x 2＋(y －1)2＝16
【例2】 方程y = ）
A. 一条射线
B. 一个圆
C. 两条射线
D. 半个圆
【例3】 在ABC ∆中，若点,C B 的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD 的长度是3，
则点A 的轨迹方程是（ ）
A. 223x y +=
B. 224x y +=
C. ()2290x y y +=≠
D. ()2290x y x +=≠
【例4】 已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (3,0)距离的比为1
2的点的轨迹．求这个曲线
的方程，并画出曲线．
【变式1】 方程()2
111x y -=--所表示的曲线是（ ）
A. 一个圆
B. 两个圆
C. 一个半圆
D. 两个半圆
【变式2】 动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2＝32
B ．x 2＋y 2＝16
C ．(x －1)2＋y 2＝16
D ．x 2＋(y －1)2＝16
【变式3】 如右图，过点M (－6,0)作圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋9＝0的割线，交圆C 于
A 、
B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹．
【变式4】如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．
(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考点四：与圆有关的最值问题
【例1】 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值围是________
【例2】 已知x ，y 满足
x 2＋y 2＝1，则
y －2x －1
的最小值为________．
【例3】 已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )
A.95
B ．1 C.4
5
D.135
【例4】已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．
【变式1】 P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．
【变式2】 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )
A ．(－1,1)
B ．(0,2)
C ．(－2,0)
D ．(1,3)
【变式3】 已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．
【变式4】已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
（1）求圆M 的方程；
（2）设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法 （1）形如u ＝y －b x －a
的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问
题
（2） 形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
（3）形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：d r （其中d 为圆心到直线的距离）。