∫ A 1
X0 = − 2 + T
T
4 T
Adt
=
0
−
4
Xk
=
A 2
sinc⎛⎜⎝
kπ 2
e−
jk
2π
T ×
⎞⎟ T 4
⎠
=
A 2
sinc⎛⎜⎝
kπ 2
⎞ ⎟
e
−
kπ j
2
⎠
当
k
为偶数时
Xk
=
0 ；当
k
为奇数时
Xk
=
−
j
A kπ
。
x(t) 是奇对称奇谐函数，傅里叶级数中只含有奇次谐波。
∞
∑ 2-3 如图 2.3 所示的周期单位冲激序列δT (t ) = δ (t − kT ) ，求其指数形式和三角形式的傅里叶级 k = −∞
T
T
∫ ∫ X1(ω ) =
2 T −
x(t)e− jωt dt
=−
j
2 0
A sin (ωt ) dt
2
T
= j A cos(ωt) 2 = jA (cos ωT − 1)
ω
0ω
2
Xk
=
1 T
X1 (ω)
ω = kω0
=
jA kω0T
⎡⎢cos ⎣
⎛ ⎜ ⎝
kω 0T 2
⎞ ⎟ ⎠
−1⎤⎥ ⎦
=
jA 2kπ
习题 2
2-1 化简以下各信号的表达式。
∫ （1） ∞ etδ (t − 3)dt −∞
∫ （2） ∞ sin(π t) δ (t)dt
−∞ t
∞
∫ （3） ε (t +1)δ (t −1)dt −∞
∫ （4） ∞ e−2t[δ ′(t ) + δ (t )]dt −∞
（5） d [cos(2t)ε(t)] dt
δ
−
2
(t
− kT
) cos(kωt)dt
=
2 T
.
其三角形式的傅里叶级数为：
⎡⎣cos (kπ
)
− 1⎤⎦
= − jA sin2 ( kπ )
kπ
2
⎧0,
=
⎪ ⎨ ⎪⎩
−
jA kπ
,
（k为偶数） (k为奇数）
则傅里叶级数为：
∑ x(t) = −
jA e jkω0t
k为奇数 kπ
②利用时域微积分性质， x′ (t ) 的波形如图 1 所示。
(A)
(-A) 图1
3
∫1
( jkω0 ) Xk = T
dt （6） d [e−tδ (t)] = − e −t δ (t ) + e −t δ ' (t ) = −e −t δ (t) + [δ ' (t) + e−tδ (t )] = δ ' (t )
dt
2-2 求题 2.2 图示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式），并画出幅度频谱。
x(t ) A 2
⎤ dt⎥
⎦
⎡⎛
0⎞ ⎛
T ⎞⎤
=
A kω1T
⎢⎜ ⎢⎢⎣⎜⎜⎝
cos
(
kω1t
)
T −
2
⎟ ⎟⎟
−
⎜ ⎜⎜
cos
(
kω1
t)
⎠⎝
2 0
⎟⎥ ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
=
A 2kπ
⎡ ⎢⎣
2
−
2
cos
⎛ ⎜⎝
kω1T 2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
A kπ
⎡⎢⎣1−
cos
⎛ ⎜ ⎝
k
ω1T 2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
A kπ
⎡⎣1−
⎜ ⎜⎜
−
cos
(
kω1t
)
⎝
2 0
⎟ ⎟⎟⎠
=
− jA 2kπ
⎡⎢1− ⎣
cos
⎛ ⎜⎝
kω1T 2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
jA 2kπ
⎡⎣cos
( kπ
)
− 1⎤⎦
=
jA 2kπ
⎡ ⎣
(
−1)k
− 1⎤⎦
2
（二）利用一个周期的傅里叶变换求傅里叶级数的系数。
① 取 (−T 2, T 2) 区间的 x (t )构成单周期信号，其傅里叶变换
(T / 2)+ [ Aδ (t) − Aδ (t − T )]e− jkω0t dt
( −T / 2)+
2
A = [1 − cos(kπ )]
T
A
jA
Xk
=
[1− cos( kπ )] = − [1− cos( kπ )]
jkω0T
2kπ
③利用时域移位性质求解。
A
参考图 2，有
图2
A
T
x(t) = − 2 + x1(t − 4 )
−∞
−∞
（4）
∫ ∫ ∞ −∞
e −2 t
⎡⎣δ
'(t )
+ δ (t)⎤⎦
dt
=
∞ −∞
⎡⎣ e−2tδ ' (t
)+
e−2tδ
(t
)⎤⎦
dt
∫=
∞ −∞
e−2tδ ' (t )dt +
e0
=
− ⎡⎣ e−2t ⎤⎦'
t
+ 1= =0
2+
1=
3
(5) d [cos(2t)ε (t)] = −2 sin(2t)ε (t) + cos(2t)δ (t) = −2 sin(2t)ε (t) + δ (t)
∞ k =1
A kπ
⎡⎣1
−
(
−1)
k
⎤ ⎦
sin
(
kω1t
)
指数形式：
Xk
=
1 2
(
ak
−
jbk
)
=
−
j 2
bk
=
− jA 2kπ
⎡⎣1−
cos(
kπ
)
⎤⎦
=
− jA 2kπ
⎡⎣1−
( − 1) k
⎤ ⎦
=
jA 2kπ
⎡⎣( −1) k
− 1⎤⎦
∫ ( ) ∫ ∫ 1
Xk = T
T
2 T
x
−
2
t
e− jkω1t dt = 1 T
数。
... -2T
δT (t) (1) -T O T
... 2T t
解：
题 2.3 图
∫ （1）因为周期冲激序列是偶函数，则 bk
=
2 T
T
2 T
δ
(t
−
kT
)
sin(k
ωt
)dt
=0
−
2
4
∫ ∫ ∫ 1
a0 = T
1
x(t)dt =
T
T
T
2 T − 2
δ
(t )dt
=
1 T
,
2
ak
= T
T
2 T
⎡ ⎢ ⎣
0 T − 2
⎛ ⎜ ⎝
−
A 2
⎞ ⎟ ⎠
e−
jkω1t
dt
+
T 2 0
A 2
e−
jkω1
t
dt
⎤ ⎥
⎦
∫ ( ) =
A 2T
⎡ ⎢ ⎣
T 2 0
e − e − jkω1t
jkω1t
⎤ dt ⎥
⎦
∫ =
− jA T
⎡ ⎢ ⎣
T 2 0
sin
(
kω1t
)
⎤ dt⎥
⎦
⎛
T⎞
=
− jA kω1T
−T
T −
O
TT t
2
2
−A
2
解： （一）定义式求解
题 2.2 图
三角形式：信号奇对称 a0 = ak = 0
1
∫ ∫ ∫ 2
bk = T
T
2 T − 2
x (t ) sin (kω1t) dt =
2 T
⎡ ⎢ ⎣
0 T
⎛ ⎜
−
−2⎝
A 2
⎞ ⎟⎠
sin
(
k
ω1t
)
dt
+
T 2 0
A 2
sin( kω1t)
（6） d [e−tδ (t )] dt
∫ 解： (1) ∞ etδ (t − 3)dt = e3 −∞
∫ ∫ （2）
∞ sin(πt) δ (t)dt
∞
= π sin c(t)δ (t)dt = π sin c(0) = π
−∞ t
−∞
∞
∞
∫ ∫ （3） ε (t + 1)δ (t − 1)dt = ε (2)δ (t −1)dt = 1
cos (kπ
)⎤⎦
=
A kπ
⎡⎣1
−
(
−1)
k
⎤ ⎦
∞
x (t ) = a0 + ∑ ( ak cos ( kω1t) + bk sin ( kω1t)) k =1
∞
= ∑ bk sin ( kω1t)
k =1
∑ =
∞ k =1
A kπ
⎡⎣1− cos (kπ )⎤⎦ sin