（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
解：设事件 表示：“取到的产品是次品”；事件 表示：“取到的产品是第 家工厂生产的”（ ）。则 ，且 ， 两两互不相容，
（1）由全概率公式得
（2）由贝叶斯公式得
=
12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：
（2）取到的是黑球的概率。
解：设 分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（ =1，2，3），则问题（1）化为求 ；问题（2）化为求 。由题意 两两互不相容，所以，
（1） 。因此由条件概率公式得
（2）
9．已知工厂 生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：
4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：
（1）至少取到一个正品的概率；
（2）第二次取到次品的概率；
（3）恰有一次取到次品的概率。
解：设 表示：“第 次取出的是正品”（ =1，2），则
（1）至少取到一个正品的概率
（2）第二次取到次品的概率为
（3）恰有一次取到次品的概率为
三、解答题
1．设对于事件 、 有 ， ， ，求 、 至少出现一个的概率。
解：由于 从而由性质4知， ，又由概率定义知 ，所以 ，从而由概率的加法公式得
2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？
解：设 表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则 。5件产品中恰有2件次品的取法共有 种，即 。于是所求概率为
/
3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：
（1）第二次取出的是次品的概率；
（2）两次都取到正品的概率；
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。
解：设 表示：“第 次取出的是正品”（ =1，2），则
（1）第二次取到次品的概率为
（2）两次都取到正品的概率为
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为
10．在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压 ，试求：（提示： ）
（1）该电子元件被损坏的概率
（2）电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率 。
解：设 ：“电源电压不超过200伏”； ：“电源电压在200~240伏”；
解：设 表示：“取到第 箱零件” ； 表示：“第 次取到的是一等品” ；则
（1）
（2）
15．设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。
解：设 表示：“第 个电子元件被损坏”（ =1，2，3），则有 ； ； 。依题意所求概率为
即 的概率分布列为
0 1 2 3
27/125 54/125 36/125 8/125
由分布函数定义得
4．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以 表示同时需要调整的部件数，试求 的概率分布。
解：设： 表示：“部件 需要调整”。
（3）至少取到一件次品的概率
6．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，
（1）没有一台机床需要照看的概率；
（2）至少有一台机床不需要照看的概率。
解：设 表示：“没有一台机床需要照看”； 表示：“至少有一台机床不需要照看“； 表示：“第 台机床需要照看”（ =1，2，3）。则 ； 。
故由独立性定义知，事件 相互独立。
第二章随机变量及其分布
三、解答题
1．设 的概率分布为
0 1 2
1/3 1/6 1/2
求：（1） 的分布函数；
（2） 、 、 。
解：（1）
；
；
。
2．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。
解：由于
所以
18．设 ， ， ，求 。
解：由于 ，
，
而
，
，
故
。
19．设事件 、 相互独立，已知 ， 。求：
（1） ；（2） 。
解：由
即
解得
所以
20．设 、 为随机事件，且 ， ， ，求：
（1） ；（2） 。
解：
（1）
（2）
21．设事件 、 相互独立，已知 ，求：
（1） ；（2） 。
解：由条件
即
解得 ，所以
；
；
故 的概率分布列为
0 1 2 3
0.504 0.398 0.092 0.006
5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数 是一离散型随机变量，求 的概率分布。
解： 的可能取值为1，2， 。记 表示“第 次试验雷管发火”则 表示“第 次试验雷管不发火”从而得
依次类推，得消耗的雷管数 的概率分布为
6．设随机变量 的概率密度为 ，求：
（1）系数 ；（2） 的分布函数；（3） 落在区间 内的概率。
解：连续型随机变量 的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数 及 的分布函数，至于（3）可由 的分布函数求得。
（1）由归一性，
解得 。
（2）由连续型随机变量的定义知 的分布函数为
5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：
（1）两件都是正品的概率；
（2）恰有一件次品的概率；
（3）至少取到一件次品的概率。
解：设 表示：“取出的两件都是正品是正品”； 表示：“取出的两件恰有一件次品”； 表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则
（1）两件都是正品的概率
（2）恰有一件次品的概率
解：由归一性
所以 =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。即
所以 ，从而
=
9．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。
解：设 表示每个人等车时间，且 服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为
又设 表示等车时间不超过2分钟的人数，则 ，所求概率为
1 2 3
1/3 1/3 1/3
关于 的边缘概率分布
1 2 3
1/3 1/3 1/3
（3） 和 不相互独立，由于 。
13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以 、 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1） 和 的联合概率分布及关于 和关于 边缘分布；
：“电源电压超过240伏”； ：“电子元件被埙坏”。
由于 ，所以
由题设 , , ,所以由全概率公式
由条件概率公式
11．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以 、 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1） 和 的联合概率分布；
（2）关于 和 边缘分布；
（1）恰好取到不合格品的概率；
（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。
解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件 表示：“取到的产品是第 家工厂生产的”（ ）。
则 ，且 ， 两两互不相容，由全概率公式得
（1）
（2）由贝叶斯公式得
=
13．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：
解：设 表示：“由甲袋取出的球是白球”；
表示：“由甲袋取出的球是黑球”；
表示：“从乙袋取出的球是白球”。则
11．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：
（1）取到的是次品的概率；
当 时， =0；
当 时，
当 时，
故 的分布函数为
（3）所求概率为
7．设随机变量 的分布函数为
求：（1）系数 ；
（2） 落在区间（－1，1）中的概率；
（3）随机变量 的概率密度。（提示： 为反正切函数）
解：（1）由 ，解得 。故得
（2）
（3）所求概率密度为
8．设随机变量 的概率分布为 ，以 表示对 的三次独立重复观察中事件 出现的次数，试确定常数 ，并求概率 。
解：由题意知 服从二项分布 ，从而
；
；
；
即 的概率分布列为
0 1 2 3
1/83/83/81/8
由分布函数定义
3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。
解：由题意知 服从二项分布 ，从而
16．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 )敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。
解：设事件 表示：“甲击中敌机”；事件 表示：“乙击中敌机”；事件 表示：“敌机被击中”。则
（1）
（2）
（3）
17．已知 ， ， ，求 。
（2）判定随机变量 与 是否相互独立。