第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有1a b⨯a b <1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论：纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧； ； ； ，……·0.9a a =··0.99ab ab =··10.09910990ab ab ab =⨯=··0.990abc a abc -=2、单位分数的拆分：例：=====110112020+()()11+()()11+()()11+()()11+分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：=11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++11A B+本题10的约数有:1,10,2,5.。

例如：选1和2，有：11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015+==+=++++本题具体的解有：1111111111011110126014351530=+=+=+=+例题精讲模块一、分数裂项【例 1】 11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 2】计算： ．57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2n n 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以23n +，再将每一项的与()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+()()212n n +⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．()()312n n n ⨯+⨯+【巩固】计算： 5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （）【巩固】计算： 3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 3】12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 4】 111111212312100++++++++++ 【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，112(11)11122==+⨯⨯，……， 112(12)212232==+⨯+⨯【例 5】 . 22222211111131517191111131+++++=------【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，22()()a b a b a b -=-⨯+【例 6】 1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+ 【例 7】121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【解析】找通项(1)(1)2(1)(1)212n n nn n a n n n n +⨯⨯+==+⨯⨯+--【例 8】222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+【解析】22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++【例 9】计算：22222223992131991⨯⨯⨯=--- 【解析】通项公式：，()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+【巩固】计算： 222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+ 【解析】本题的通项公式为，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母221005000n n n -+，可以看出如果把换成()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦n 的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个100n -22505050005000-+．将项数和为100的两项相加，得，()()()()22222222210010022001000021005000100500010050001001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+所以原式．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式）249199=⨯+=19999=⨯=【例 10】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124 【解析】虽然很容易看出＝，＝……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项321⨯3121-541⨯5141-那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子)12()1(632112222+⨯+⨯++++n n n n ＝ 也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？模块二、换元与公式应用【例 11】计算：33333333135********+++++++【例 12】计算： 234561111111333333++++++【解析】法一：利用等比数列求和公式。

原式71113113⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-7132641132729⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦法二：错位相减法．设234561111111333333S =++++++则，，整理可得．23451111133133333S =++++++61333S S -=-3641729S =法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1，所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，，则运用“借来还去”的方法可得到，整理得到．2345622222222333333S =++++++61233S +=3641729S =【例 13】计算：22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++【例 14】计算：222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯【例 15】 ．()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦【例 16】计算： 1111111111(1((1()2424624624++⨯++-+++⨯+三、循环小数与分数互化【例 17】计算：，结果保留三位小数．0.1+0.125+0.3+0.16【例 18】某学生将乘以一个数时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?1.23a 1.23【例 19】有8个数，，,,,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是，那么0.51 23590.51 2413,47250.51 按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?【例 20】真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少? 7a a 【例 21】和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.200220091287【解析】如果将和转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们200220091287发现，而，则第100位上的数字和为9.2002112009287+=10.9⋅=【例 22】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．【例 23】()()()()()()()()()()1111111111145=+=-=++=--注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.【例 24】所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。