2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。

19.设dx x x a n n ⎰-=121，n=（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n=2，3…） （2）求1lim-∞→n nn a a .20.设向量组Ⅰ.,)3,1,1(,)3,2,1(,)4,0,1(,)4,1,1(42321TT T T a a +=+===αααα Ⅱ..)3,3,1(,)1,2,0(,)3,1,1(2321TT T a a a +=-=+=βββ若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a ，并将3β用321,,ααα表示21.已知矩阵相似与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=y B x A 0001001220022122 （1）求y x ,，（2）求可逆矩阵,P 使得B AP P =-122.已知随机变量YX ，相互独立，X 服从参数为1的指数分布10,111~<<⎪⎪⎭⎫⎝⎛--p p p Y ，令XY Z =.x（1）Z 的概率密度 （2）不相关；，为何值，Z X p （3）.Z ,X 是否独立23.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-- ,0,),(222)(2μμσσσμx x e A x f xμ为已知参数，2σ为未知参数，A 常数，的简单随机样本为取自总体，，，X X X X n Λ21.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量2019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学三）1.D2.D3.D4.B5.A6.C7.C8.A9.1-e 10.)2,(-π 11.)221(181- 12.0.4 13.1 14.32 15. 解：当0x >时，()()()()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2x x x x x x f x xe e x x x '''===++. 当0x <时，()()()e 1e e 1e x x x xf x x x x ''=+=+=+.当=0x 时，()01f =，()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x xf x x x++++→→→--'====-∞，()00110lim lim 1x xx x xe f e x---→→+-'===. 故()()()22ln 2 0=1e 0x xx x x f x x x ⎧+>⎪'⎨+<⎪⎩. 令()=0f x '，得112,1x e x -==-.（1）当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 当()()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+单调递增，故()211=ef ee -⎛⎫ ⎪⎝⎭为极小值. （2）当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 故()0=1f 为极大值.（3）当()()(),1,0,x f x f x '∈-∞-<单调递减， 当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 故()11=1f e ---+为极小值.16. 解：),(),(y x y x f xy y x g -+-=)(),(v u v u f f x ygf f y xg '-'-=∂∂'+'-=∂∂ vv uv uu vv uv uv uuf f f f f f f xg''-''-''-=''+''+''+''-=∂∂2)(22 vv uu vv uv uv uuf f f f f f yx g''+''-=''-''+''-''-=∂∂∂1)(12 vv uv uu vv uv uv uuf f f f f f f yg''-''+''-=''+''-''-''-=∂∂2)(22 .3122222vv uuf f y gy x g x g ''-''-=∂∂+∂∂∂+∂∂17.18.19.20.解：()1231232222111101,,,,,10212344+331+3111101011022001111a a a a a a a a αααβββ⎡⎤⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1）当210a -≠，即1a ≠±时，()()123123,,3,,,3r r αααβββ==，此时两个向量组必然等价，且3123=+βααα-.（2）当=1a 时，()123123111101,,,,,011022000000αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时两个向量组等价，()()3123=232+k k k βααα-++-.（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 此时两个向量组不等价.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（1）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤承载梦想 启航为来 只为一次考上研 启航考研 从而当0z ≤时，()z F z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0z z pe z f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. （2）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关. （3）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（1）由()2221x A e dx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰，从而A =（2）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,n i i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他，当时，取对数得()22211ln ln ln 22n i i n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022n i i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑. (答案仅供参考),1,2,,i x i n μ≥=L。