第一章 复习题(一)一、判断题1、大人全体构成集合。
(× )2、小个子全体构成集合。
(× )3、所有集合都可用列举法表示。
(× )4、所有集合都可用描述法表示。
(√ )5、对任意集合A ,总有A ∅⊂。
(√ )6、()A B B A -⋃=。
(× )7、()()A B B A B B A A -⋃=⋃=-⋃。
(√ ) 8、若B A ⊆,则()A B B A -⋃=。
(√ )9、c A A ⋂≠∅,c A A X ⋃=,其中X 表示全集。
(× ) 10、A B B A ⨯=⨯。
(× )11、()c c c A B A B ⋃=⋃,()c c c A B A B ⋂=⋂。
(× )12、()()()A B C A C B C ⋃⋂=⋂⋃⋂,()()()A B C A C B C ⋂⋃=⋃⋂⋃。
(√ ) 13、若A B ,B C ,则A C 。
(√ ) 14、若A B ,则A B =,反之亦然。
(√ )15、若12A A A =⋃,12B B B =⋃,且11A B ,22A B ,则A B 。
(× ) 16、若A B ⊆,则A B ≤。
(√ ) 17、若A B ⊆,且A B ≠,则A B <。
(× ) 18、可数集的交集必为可数集。
(× )19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。
(√ ) 20、因整数集Z ⊂有理数集Q ,所以Q 为不可数集。
(× ) 21、()c c A A =。
(√ )第二章 复习题一、判断题1、设P ,n Q R ∈,则(,)0P Q ρ=⇔P Q =。
(× )2、设P ,n Q R ∈,则(,)0P Q ρ>。
(× )3、设123,,n P P P R ∈,则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。
(× )4、设点P 为点集E 的内点,则P E ∈。
(√ )5、设点P为点集E的外点,则P E∉。
(√)6、设点P为点集E的边界点,则P E∈。
(×)7、设点P为点集E的内点,则P为E的聚点,反之P为E的聚点,则P为E的内点。
(×)8、设点P为点集E的聚点,则P为E的边界点。
(×)9、设点P为点集E的聚点,且不是E的内点,则P为E的边界点。
(√)10、设点P为点集E的孤立点,则P为E的边界点。
(√)11、设点P为点集E的外点,则P不是E的聚点,也不是E的边界点。
(√)12、开集中的每个点都是内点,也是聚点。
(√)13、开集中可以含有边界点和孤立点。
(×)14、E是开集⇔E E=的内部(开核)。
(√)15、任意多个开集的并集仍为开集。
(√)16、任意多个开集的交集仍为开集。
(×)17、有限个开集的交集仍为开集。
(√)18、闭集中的每个点都是聚点。
(×)19、E'和E都是闭集。
(√)20、E是闭集⇔E E'⊂。
(√)21、任意多个闭集的交集仍为闭集。
(√)22、任意多个闭集的并集仍为闭集。
(×)23、有限个闭集的并集仍为闭集。
(√)24、E 是开集⇔c E 是闭集。
(√ )25、E 是完全集(完备集)⇔E E '=E ⇔是无孤立点的闭集。
(√ )二、填空题1、设1n R R =,1E 是[0,1]上的全部有理点,则1E '=[0,1];1E 的内部= 空集 ;1E =[0,1]。
2、设2n R R =,1E =[0,1],则1E '=[0,1];1E 的内部= 空集 ;1E =[0,1]。
3、设2n R R =,1E =22{(,)1}x y x y +<,则1E '=22{(,)1}x y x y +≤;1E 的内部=1E ;1E =22{(,)1}x y x y +≤。
4、设P 是康托(三分)集,则P 为 闭 集;P 为 完全 集;P 没有内 点;P = c ;mP = 0 。
5、设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间,则(,)a b 满足(,)a b ⊂G ,且a ∉G ,b ∉G 。
6、设(1,2)(3,4)E =⋃,写出E 的所有的构成区间(1,2),(3,4)。
7、设(1,3)(2,6)E =⋃,写出E 的所有的构成区间(1,6)。
8、设E 为1R 上的闭集,0x 为E 的孤立点,则0x 必为E 的两个邻接区间的 公共 端点。
9、设E 为1R 上的闭集,则E 的邻接区间必为cE 的构成区间。
第三章复习题一、判断题1、对任意n E R ⊆,*m E 都存在。
(√ )2、对任意n E R ⊆,mE 都存在。
(× )3、设n E R ⊆,则*m E 可能小于零。
(× )4、设A B ⊆,则**m A m B ≤。
(√ )5、设A B ⊆,则**m A m B <。
(× )6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑。
(× )7、**11()n n n n mS m S ∞∞==≤∑。
(√ )8、设E 为n R 中的可数集,则*0m E =。
(√ ) 9、设Q 为有理数集,则*0m Q =。
(√ ) 10、设I 为n R 中的区间,则*m I mI I ==。
(√ ) 11、设I 为n R 中的无穷区间,则*m I =+∞。
(√ ) 12、设E 为n R 中的有界集,则*m E <+∞。
(√ ) 13、设E 为n R 中的无界集,则*m E =+∞。
(× ) 14、E 是可测集⇔c E 是可测集。
(√ )15、设{n S }是可测集列,则1n n S ∞=,1n n S ∞=都是可测集。
(√ )16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。
(√ ) 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。
(√ ) 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。
(√ ) 19、若E =∅,则*0m E >。
(× )20、若E 是无限集,且*0m E =,则E 是可数集。
(× ) 21、若mE =+∞,则E 必为无界集。
(√ )22、在n R 中必存在测度为零的无界集。
(√ )23、若A ,B 都是可测集,A B ⊆且mA mB =,则()0m B A -=。
(× ) 24、∅和n R 都是可测集,且0m ∅=,n mR =+∞。
(√ ) 25、设12,E E 为可测集,则12()m E E -≥12mE mE -。
(× )26、设12,E E 为可测集,且12E E ⊇,则12()m E E -=12mE mE -。
(× )二、填空题1、若E 是可数集,则*m E = 0 ;E 为 可测 集;mE = 0 。
2、若12,,,n S S S 为可测集,则1n i i mS = 小于或等于 1ni i mS =∑;若12,,,nS S S 为两两不相交的可测集,则1ni i m S = 等于 1ni i mS =∑。
3、设12,E E 为可测集,则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ;若还有2mE <+∞,则12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。
4、设12,E E 为可测集,且12E E ⊇,2mE <+∞,则12()m E E - 等于12mE mE -。
5、设0x 为E 的内点,则*m E 大于 0。
6、设P 为康托三分集,则P 为 可测 集,且mP = 0 。
7、m ∅= 0 ,n mR = +∞ 。
8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。
9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。
第四章 复习题一、判断题1、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,如果对任意实数a ,都有[()]E x f x a >为可测集,则()f x 为E 上的可测函数。
(√ )2、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,如果对某个实数a ,有[()]E x f x a >不是可测集,则()f x 不是E 上的可测函数。
(√ )3、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a , [()]E x f x a ≥为可测集。
(× )4、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a , [()]E x f x a =为可测集。
(× )5、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a , [()]E x f x a ≤为可测集。
(√ )6、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b (a b <), [()]E x a f x b ≤<为可测集。
(× )7、设E 是零测集,()f x 是E 上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数。
(√ )8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ,则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。
(× ) 9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数,则()f x 在E 上“基本上”连续。
(√ )10、设E 为可测集,若E 上的可测函数列()()n f x f x ⇒(x E ∈),则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。
(× ) 11、设E 为可测集,若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ,则()()n f x f x ⇒(x E ∈)。
(×)二、填空题 1、[]E f a > 等于11[]n E f a n∞-≥+,[]E f a ≥ 等于11[]n E f a n∞->-。
2、[]E a f b << 包含于[]E f a >,[]E a f b << 包含于[]E f b <;[]E a f b << 等于[][]E f a E f b ><,[]E a f b << 等于[][]E f a E f b >-≥。
3、设1n n E E ∞==,则[]E f a < 等于 1[]n n E f a ∞=<。