上宝中学2013学年第一学期期中考试初三数学试卷
姓名：_____ 学号：_______
一、选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)
1. 已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（）
A.
BC
DE
EC
AE
=； B.
FB
CF
EC
AE
=； C .
BC
DE
AC
DF
=； D.
BC
FC
AC
EC
=
2. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列关系式错误的是（）
A．a=b tan A；B．b=ccos A；C．a=c sin A；D．c=
sin
b
A
3. 如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）
A．7对；B．6对；C．5对；D． 4对
第3题第4题
4. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：
①abc>0；②a－b+c＜0；③3a+c＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的结论是（）．
A．①②； B．①④； C．②③； D．②③④
5. 下列说法正确的个数有（）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角、弦、弦心距都分别相等；
④过三点可以画一个圆.
A．1个；B．2个； C．3个； D．4个
6. 下列命题中，错误命题的个数有（）
第6题
①如图，若
AB DE
BC EF
=
，则////AD BE CF ； ②已知一个单位向量e ，设a 是非零向量，则1a e a =；
③在△ABC 中，D 在AB 边上，E 在AC 边上，且△ADE
和△ABC 相似，若AD = 3，DB = 6，AC = 5，则它们的相似比为13或3
5
；
④对于抛物线f (x )=x 2
－4x +c ，有f (1)>f (－1)；
⑤在△ABC 中，AB =23，AC =2，BC 边上的高AD =3，则BC =4，∠B =30°． A ．5个；
B ．4个；
C ．3个；
D ．2个
二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)
7. 在比例尺为1：50000的地图上，某地区的图上面积为20平方厘米，则实际面积为 平方千米. 8. 在△ABC 中，|cosA –
32
|+(1– cotB)2
= 0 ，则△ABC 的形状是 . 9.将二次函数5422
+-=x x y 图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图 象的解析式是 .
10. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且EF ∥BC ，
5
3
AE BC BE AD ==，若AB a =，DC b =， 则向量EF 可用a 、b 表示为_____________________.
第10题 第11题 第12题 第13题
11. 如图，在△ABC 中，点D 是AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），BC=AD ，如果∠ACD=90°，那么tanA= .
12．如图AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，且AE=1
3
AD ，CE 的延长线交AB 于点F ，若AF=1.2，则AB= .
13. 如图所示，在△ABC 中，DE∥AB∥FG，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1：2．若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG 的面积S=
D
B
C
A
E
14. 在△ABC 中，AB=3，AC=4，△ABC 绕着点A 旋转后能与△AB′C′重合，那么△ABB′与△ACC′的周长之比为 .
15.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，AE ＝EC ，AD ＝18，BE ＝15，tan∠EBC = ．
16.如图，AC 是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以BD 为坡面的斜坡，小明在
A 点观察点D 的俯角为30°，在A 点观察点
B 的俯角为45°，若坡面BD 的坡度为1：3，则BD 的长为 .
17. ⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，AB=6cm ，CD=8 cm ，则AB 与CD 的距离为 cm.
18.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB=5，BC =3，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD=CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF ∥AB ，则BD 的长为 ．
三、解答题(本大题共7题，满分78分)
19.（本题第（1）题3分，第（2）题7分，满分10分）
在平面直角坐标系中，抛物线过原点O ，且与x 轴交于另一点A （A 在O 右侧），顶点为B ．艾思轲同学用一把宽3cm 的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
（1）量得OA =3cm ；（2）当把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图），测得抛物线与直尺右边的交点C 的刻度读数为4.5cm ．
艾思轲同学将A 的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题： （1）写出抛物线的对称轴；（2）求出该抛物线的解析式．
A
C
B
D
20.（本题每小题5分，满分10分）
在Rt△A BC 中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB ＝4
5
，D 是斜边AB 上一点，过点A 作AE⊥CD，垂足为E ，AE 的延长线交BC 于点F ． （1）当tan∠BCD ＝1
2
时，求线段BF 的长； （2）当BF ＝5
4
时，求线段AD 的长．
21.（本题每小题5分，满分10分）
如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长等于8，OD ⊥AB ，垂足为点D ，DO 的延长线与⊙O 相交于点C ，点E 在弦AB 的延长线上，CE 与⊙O 相交于点F ，cos C =35
. 求：（1）CD 的长；（2）EF 的长.
22.（本题每小题5分，满分10分）
如图，在一笔直的海岸线l 上有AB 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB=2（单位：km ）．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向． （1）求点P 到海岸线l 的距离；
（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
23.（本题第（1）题5分，第（2）题7分，满分12分）
D
A
E
B
C
O F
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DF⊥AC，E是DF的中点，联结AE、
BF. 求证：(1)2
DF CF AF
=⋅；(2)AE⊥BF.
24. （本题第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分，满分12分）
已知抛物线y=x2－2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（－1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（－4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E 时，求点Q的坐标．
25. （本题第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分，满分14分）
H
E
F
C
B
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE=y.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
备用图备用图。