第五章 曲线运动 万有引力一．物体做曲线运动的条件在曲线运动中，运动质点在某一位置或某一时刻的即时速度方向，就是曲线运动轨迹在该点的 方向。

曲线运动是一种变速运动。

做曲线运动的物体所受合外力必指向轨迹凹的一面。

质点做曲线运动的条件： 。

1．物体做曲线运动的条件1． 关于曲线运动，以下说法中正确的是（ ）（A ）变力作用下物体的运动必是曲线运动（B ）物体在大小不变，方向不断改变的力作用下，其运动必是曲线运动（C ）恒力作用下物体的运动可能是曲线运动（D ）合外力方向与初速度方向不同时必做曲线运动2． 一质点在xOy 平面内运动的轨迹如图所示，下面判断正确的是（ ）（A ）若x 方向始终匀速，则y 方向先加速后减速（B ）若x 方向始终匀速，则y 方向先减速后加速（C ）若y 方向始终匀速，则x 方向先减速后加速知识内容 学习水平 说明 曲线运动 平抛运动描绘平抛运动轨迹（学生实验）C B 角速度、线速度、周期B 向心力向心加速度B B 向心力的计算只限于向心力是一个力直接提供的情况 万有引力定律A 离心现象及其应用A *人造地球卫星 C（D）若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速二．平抛运动平抛运动的性质：。

平抛运动的运动规律：速度：水平方向：v x＝，竖直方向：v y＝，末速度与水平方向夹角tanθ＝。

位移：水平方向：x＝，竖直方向：y＝，位移与水平方向夹角tanα＝。

推论：tanθ＝2tgα2．平抛运动的应用3．飞机在2000 m高空以100m/s的速度水平飞行，相隔1s先后从飞机上落下A、B两物体，不计空气阻力，两物体在空中的最大距离为m。

4．离地某一高度的同一位置处有A、B两个小球。

A以v A＝3m/s的速度向左水平抛出，同时B球以v B＝4m/s的速度向右水平抛出。

当两小球的速度方向互相垂直时，它们之间的距离为多大？5．如图所示，玩具枪的枪管水平，在其正前方放置两个竖直纸屏，纸屏与枪管垂直，屏A离枪口的距离为s，A、B屏间距为l，子弹发射后击穿两纸屏。

设纸屏对子弹的阻力不计，两屏上弹孔的高度差为h，则子弹离开枪口时的速度大小为，子弹在两屏间飞行的时间为。

6．在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长l＝1.25cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为v0＝（用l、g表示），其值是m/s。

7．如图所示，一光滑斜面与竖直方向成α角，小球有两种释放方式：第一种方式是在A点沿斜面自由下滑；第二种方式是在A点以速度v0水平抛出，并落在B点。

AB的长度为；以两种方式到达B点，下滑的运动时间为t1，平抛的运动时间为t2，t1：t2＝。

8．如图所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平初速度v抛出一球，其落点与A的水平距离为s1；从A点以水平初速度2v向右抛出一球，其落点与A的水平距离为s2，不计空气阻力，s1：s2可能为（）（A）1：2 （B）1：3 （C）1：4 （D）1：59．如图所示，有三个高度均为h＝0.225m，宽s＝0.3m的台阶。

小球在平台AB上以初速度v0水平向右滑出，要使小球正好落在第2个平台CD上，不计空气阻力，求初速v0范围。

10．如图所示，从高H＝40m的光滑墙的顶端，以初速v0＝10m/s，把一个弹性小球沿水平方向对着相距L＝4m的另一竖直光滑墙抛出，设球与墙碰撞前后垂直于墙的速度大小不变、方向相反，而平行于墙的速度保持不变，空气阻力不计，则物体从抛出到落地的过程中与墙碰撞次。

11．已知做平抛运动的物体在飞行过程中经过A、B两点的时间内速度改变量的大小为Δv，A、B两点的竖直距离为Δy，则物体从抛出到运动到B点共经历的时间为。

12．物体以v0＝12m/s的水平速度滑上一个光滑斜坡，坡顶为光滑水平面，物体越过坡顶做平抛运动，如图所示。

为使物体水平射程最大，坡顶高度应为m。

13．在20米高处以2米／秒的速度水平抛出质量为2千克的物体，求当它离地高度为多少时，该物体的动能与势能关系为E k＝2E p。

3．类平抛运动的计算14．如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，此物体在斜面上运动的加速度大小为；入射初速度的大小为。

15．如图所示，质量相同的两个带电粒子A、B以相同的初速沿垂直于电场方向射入两平行板间的匀强电场中。

A从两极板正中央射入，B从下极板边缘射入，它们最后打在同一点（重力不计），则在此过程中，它们运动的时间之比t A：t B＝，它们所带的电量之比q A：q B＝。

三．圆周运动匀速圆周运动作圆周运动的质点，如果在相等时间内通过的相等，这个质点所做的运动就叫做匀速圆周运动。

匀速圆周运动又称为匀速率圆周运动。

匀速圆周运动的性质：。

4．描述匀速圆周运动的物理量线速度：质点做匀速圆周运动时，通过的与所用时间的比值叫做线速度，v＝，是量，方向为，单位：。

角速度：与所需时间之比叫做角速度，ω＝，单位：。

周期T：运动一周所用时间叫做周期，T＝，单位：。

频率f：1秒中内完成的圈数，单位：。

每分钟转速n：一分中内完成的圈数，单位：转/分各物理量之间的关系v＝2πRT＝2πRf，ω＝2πT＝2πf，v＝ωR，T＝1f，f＝n605．向心力和向心加速度向心加速度是描述的物理量，a＝、、，方向。

使质点产生向心加速度所需的外力叫做向心力，F＝、、，方向。

向心力是根据力的效果命名的，向心力可能由重力、弹力或摩擦力提供，也可能是某几个力的分力或是几个力的合力提供。

做匀速圆周运动．．．．．．的物体所受外力的合力始终指向轨迹圆的圆心。

【典型例题】16．如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。

当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。

自行车车轮的半径R1＝35cm，小齿轮的半径R2＝4.0cm，大齿轮的半径R3＝10.0cm。

则大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比为。

（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）17．以2m/s速度作水平匀速运动的质量为0.1kg的物体，从某一时刻起到受一个始终跟速度方向垂直、大小为2N的力作用，那么，力作用3秒后，质点速度大小是m/s，经过π/2秒后质点的位移是m。

18．如图所示，水平转台光滑轴上套有两小球A和B，质量分别为2m和m，并用细线相连，恰能随转台匀速转动，则A、B两小球的（）（A）线速度大小之比为1∶2（B）角速度大小之比为1∶2（C）向心加速度大小之比为1∶2（D）向心力大小之比为1∶219．如图所示，水平放置的板面上有一个小孔O，一根细绳穿过小孔，一端系着一只小球，另一端用力竖直向下拉着，板面光滑。

开始时，小球在板面上以半径r做匀速圆周运动，此时所用拉力为F。

现缓慢地增大拉力，使小球的运动半径逐渐减小，当半径减小为原来的一半时，拉力为8F，则此过程中拉力所做的功为。

20．如图所示，A、B两物体的质量均为1kg，A在光滑水平面上作匀速圆周运动，B在4N的水平力作用下，从静止开始沿着圆的直径方向向A靠近，A、B两物体同时从P、Q位置分别开始运动，当A绕圆运动两周时，A、B正好在P点相遇，当A再绕半周时，又与B在C处相遇。

试求：A物体作匀速圆周运动的向心力。

6．离心现象一个在做圆周运动的物体，如果外力突然消失，或者突然减小，以至于不足以维持原来的圆周运动，物体就会逐渐远离圆心，这种现象叫做离心现象。

【典型例题】21．在人们常见的以下现象中，属于离心现象的是（）（A）舞蹈演员在表演旋转动作时，裙子会张开（B）在雨中转动一下伞柄，伞面上的雨水会很快地沿伞面运动，到达边缘后雨水将沿切线方向飞出（C）满载黄砂或石子的卡车，在急转弯时，部分黄砂或石子会被甩出（D）守门员把足球踢出后，球在空中沿着弧线运动7．圆周运动多解性22．如图所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪光30次。

风扇的叶片有三片，均匀安装在转轴上。

转动时如观察者感觉叶片不动，则风扇的转速是r/min。

如果观察者感觉叶片有六片，则风扇的转速是r/min（电动机的转速不超过1400r/min）。

23．如图所示，A、B两物体的质量相等，A在光滑的水平面上作匀速圆周运动，B在水平力F作用下，从静止由b点开始沿着直径方向靠近a点。

A、B两物体同时从a、b两位置开始运动，且先相遇在a点，又在A再绕半周时相遇在C点。

试求A物体作匀速圆周运动的向心力。

8．竖直平面圆周运动的动力学分析24．用绳系着小球在竖直平面内做圆周运动，绳长为L，绳的另一端固定，小球质量为m，要使小球能通过最高点，则最高点时的速度必须，若小球以恰能通过最高点时速度的3倍的速度通过最高点，此时绳中张力大小为，若以恰能通过最高点时速度的3倍的速度通过最低点，此时绳中张力大小又为。

25．质量为m的木块要沿半径为R的凸形桥通过最高点A，经A点时速度必须，若以恰能通过A点时速度的一半的速度通过A点，此时对桥面的压力大小为。

26．如图所示，质量m＝0.5千克的小球固定在长为l＝0.4米轻杆的一端，小球以v＝1米/秒的速度绕杆的另一端O点在竖直平面内做匀速圆周运动，求：（1）运动到最高点A时，杆对小球的作用力为多大？方向如何？（2）运动到最低点B时，杆对小球的作用力为多大？方向如何？（3）若小球以v′＝3米/秒绕O点做圆周运动，则运动到最高点A时，杆对小球的作用力为多大？方向如何？9．竖直平面圆周运动的能量分析27．如图所示，两个半径不同而内壁光滑的半圆轨道固定在地面上，一个小球先后从与球心同一高度的A、B两点由静止开始自由下滑，通过轨道最低点时（）（A）小球对两轨道的压力大小相等（B）小球对两轨道的压力大小不等（C）小球的向心加速度大小不等（D）小球的向心加速度大小相等28．一根长1m，质量可不计的细杆可绕其中点在竖直平面内做无摩擦转动，其两端分别固定质量m A＝0.1kg，m B＝0.4kg的铁球，当杆转到竖直位置（A球在上）时，其角速度ω＝8rad/s，则细杆对B球作用力为N，当细杆转过180°后，杆对B球的作用力为N，方向。

29．如图所示，中间穿孔的质量为m的小球，套在光滑轨道上滑下。

轨道由斜轨与半径为R的圆轨道连接而成，小球要能到达圆周的最高点，开始下滑处的高度H最小应为，此时轨道对小球的压力大小为，方向为。

它经过最低点时的速度大小为，对轨道最低点的压力大小为。

30．小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB＝d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图所示。

试求d的取值范围。

31．如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R。