初中数学教学海伦公式应用论文
摘要：海伦公式在初中数学三角形教学中应用很广，对于解决三角形中的难题有着很大帮助，特别是在解决三角形有两条未知边的面积问题时，更简便快捷。

除此之外，它在多边形面积的求解方面也起着重要的作用。

一、海伦公式概念的理解
古希腊数学家海伦在著作《度量论》中指出：求三角形面积中，只要测量出其三条边，就能求出三角形的面积。

公式为：S=p（p-a）（p-b）（p-c），p=12（a+b+c）（p为周长的一半）
我国宋代数学家秦九韶在著作《数书九章》中，也提出了用三角形的三边求其面积的方法：S=14[a2c2-（c2+a2-b22）]2这种方法和海伦的方法实质是一样的。

海伦公式也叫做“海伦—秦九韶公式”，它在计算多边形的面积时非常适用。

任何一个多边形都可以割成若干个三角形，在用海伦公式求算多边形面积时，三角形的个数为n-2个。

所以在测量它们的面积时，只要把若干个三角形的边长测量出来，就能算出多边形的面积。

二、海伦公式的推导证明
海伦公式在解题过程中作用很大。

但是为了论证海伦—秦九韶公式存在的合理性，笔者从以下几个方面加以推导证明。

1、通过勾股定理推导证明。

在三角形ABC中，BC是底边，相应的三条边分别为a，b ，c，底边上的高为h。

如图所示：证明：由勾股定理可得：k=a-l， h2=b2-l2， h2=c2-k2。

则
k=a2+c2-b22a，l=a2-c2+b22a。

所以h=b2-（a2-c2+b2）24a2=4a2b2-（a2-c2+b2）2a，
S△ABC=12ah=12a×4a2b2-（a2-c2+b2）22a
=144a2b2-（a2+b2-c2）2
2、通过余弦定理推导证明。

在三角形ABC中，三条边分别对应为a，b，c。

其面积可用公式S=12absinC来求得。

根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可求出：cosC=a2+b2-c22ab。

所以sinC=1-cos2C=（1+cosC）（1-cosC）=（1+a2+b2-c22ab）（1-a2+b2-c22ab）经过化简、代入后，也可得到S=p（p-a）（p-b）（p-c）。

三、海伦公式的推广
我们在对海伦公式的证明过程中，产生了很多疑问：通过海伦公式能否对生产生活起着指导作用？当多边形处于一个空间坐标系中时，我们能否找到普遍的规律来解决问题呢？为些，引发了海伦公式的推广。

笔者在本文谈谈在四边形面积计算中的推广。

任意四边形的边长是无法确定的，如果我们将任意四边形放入圆内，能否运用三角形海伦公式来计算呢？如下题：在圆内有一四边形ABCD，边长分别为a、b、c、d。

如图：
延长DA，CB交于F点。

FA为g，FB为h。

∵因为∠FAB+∠BAD=1800，∠BAD+∠C =1800。

∴∠FAB=∠C，∴△FAB～△FCD。

∴ha+g=gh+c=bd，SFAB和SABCD之比为b2/（d2-b2）。

解得g=b
（ab+cd）d2-b2，h=b（ad+bc）d2-b2。

由于SABCD=d2-b2b2SFAB。

把SFAB的面积算出来之后，再代入此公式，简化后就可得出结果：SABCD=（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）。

经过上述的推广，我们可以得出结论：对于任意圆内接四边形ABCD，边长分别为a、b、c、d，其面积SABCD=（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）。

四、海伦公式在考试中应用
笔者在复习时，总能碰到能运用海伦公式的数学题目，如：2009年某市的中考题：已知线段AB，CD是此线段上的两点，AB=4，AC=1，AD>1。

以C点为中心顺时针方向旋转点A，以D点为中心逆时针旋转点B，使得AB两点相交于点G，构成△GCD，设CD的长度为x，要求学生求出△GCD的最大面积？如图所示：
笔者在做题之初想通过作高的方法来求△GCD的最大面积，后来灵感来了：为什么不用海伦公式来求解呢？设△GCD的面积为S，因为CD=g=4，CG=d=1，DG=c=3-x。

由此可得出结果为：S=22最大。

结语：海伦公式在初中数学三角形教学中应用很广，对于解决三角形中的难题有着很大帮助，特别是在解决三角形有两条未知边的面积问题时，更简便快捷。

除此之外，它在多边形面积的求解方面也起着重要的作用。

参考文献：
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