（3）y x3.
名称
定义域
值域
奇偶性
单调性
y x3
R
R
(, )
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1
（4）y x2 .
名称
1
y x2
定义域
值域
[0, ) [0, )
奇偶性
单调性
[0,)
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y 6
y x3 y x2
y=x
4
2
1 01
-2
1
y x2
y x1
5
x
-4
-6
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幂函数的性质：
（1）幂函数在第一象限内的图像：
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（2）所有的幂函数恒过点（1,1）， 且当 0时，幂函数还过点（0,0）；
2.A function of the form y x , where is a constant, is called a power function.
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注意：
1.幂函数 y x 中x 前面的系数为 1，且只有一项； 2.定义域不固定，与 的取值有关。
4
练习2.幂函数 y f (x) 的图像过点 (4,2)，求 f (8) 的值。
1
1
练习3.设 (m 4)2 (3 2m)2 ，求m 的取值范围。
练习4.如果函数 f (x) (t2 t 1)xt 是幂函数，且在区间 (0, ) 上是减 函数，求满足条件的实数 t 的值。
思考题：
n
当幂函数的表达式为 y xm （m,n Z ，(m,n) 1,且 m 0）时的定 义域、值域、奇偶性和单调性是怎样的？
例5：求下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性。
2
（1）y x3 ;
3
（3）y x2 ;
（2）y
2
x3
;
3
（4）y x5 ;
（5）y
3
x5
.
Domains of Power Functions
n
Domain of the power function y xm is:
● (,) if m is odd and n 0 ;
with
n m
0;
both
m
increasing
and
decreasing
if
n 0;
●increasing for x 0 and decreasing for x 0 if n is even and n 0 ;
decreasing for x 0
and increasing
for
x 0if n
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（5）y x1.
名称
定义域
值域
奇偶性
y x1 (,0) (0, ) (,0) (0, )
单调性
(,0) (0,)
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结论：
-10
-5
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例题：
例3.下列说法正确的是（ ） （A）幂函数的图像都经）当 0 时，幂函数 y x 的值随 x 的增大而增大； （D）当 0 时，幂函数 y x 的图像是一条直线。
• 当 m为偶数，n 为奇数时，函数是非奇非偶函数。
Monotonicity of Power Functions
n
Monotonicity of the power function y xm is:
●increasing if n is odd and n 0 ; decreasing if n is odd and mis even
1
5. 若某人 t 秒内骑车行进 1 千米，他骑车的平均速度为v t 。
思考：上面的这些函数有什么共同的特征？
y
x;
y
x2;
y
x3;
y
1
x2
;
y
1
.
x
（1）都是函数；
（2）指数为常数；
（3）均是以自变量为底的幂。
幂函数的定义：
1.一般地，函数y x（ 为常数， Q）叫做幂函数（power function）。
（3）所有幂函数的图像都经过第一象限，不经过第四象限； （4）当 1 时， 越大，幂函数在第一象限的图像越靠近 y 轴。
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（5）当 为奇数时，幂函数为奇函数； 当 为偶数时，幂函数为偶函数；
（6）当 0 时，幂函数在第一象限内是递增的； 当 0 时，幂函数在第一象限内是递减的；
例4. Arrange the following triples in ascending order without using a calculator.
(1)
1
1.3 2
,
1
0.8 2
,1;
22
(2) (a2 2)3 , 23 ;
(3) 5.251,5.262.
课堂练习：
练习1.求一个幂函数，使其过点 (2, 1) 。
is even and
n
m
0;
m
●decreasing for either x 0 or x 0 if n is odd and n 0 .
m
课堂小结：
1. 幂函数的定义； 2. 幂函数的一些性质； 3. 幂函数的应用（判断两个实数的大小关系）。
作业：
课本第81页的第1、2、3题。
yx
名称
定义域
值域
奇偶性
单调性
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yx
R
R
(, )
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（2）y x2.
名称
y x2
定义域
R
值域
[0, )
奇偶性
单调性
(,0] [0,)
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探究：
画出下列函数的图像，指出它们的定义域、值域，并判断它们 的奇偶性和单调性。
1
(1) y x;(2) y x2;(3) y x3;(4) y x 2 ;(5) y x1.
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描点作图法
（1）y x.
幂函数
问题引入：
1.如果小李购买了每千克 1 元的蔬菜 w千克，那么他需要支付的钱 数 P= w 元。 2. 若正方形的边长为 a ，则正方形的面积为 S= a2 。 3. 若立方体的的边长为 a ，则立方体的体积为 V= a3 。
1
4. 若一个正方形场地的面积为 S ，正方形的边长为a S 2 。
m
● (,0) (0,) if m is odd and n 0 ;
m
● [0,) if m is even and n 0 ;
m
● (0,) if m is even and n 0.
m
奇偶性：
n
函数 y xm 的奇偶性：
• 当m 为奇数，n 为偶数时，函数是偶函数；
• 当m 为奇数，n 为奇数时，函数是奇函数；
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例题：
例1.判断下列函数哪些是幂函数：
（1） y 2x2; （2） y
1 x2
;
（3）y x2 x;
（4）y 2x;
（5） y 1.
例2.已知函数 y (m 2)xm 是幂函数，求实数 m 的值。
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