2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 全国卷 3）理科数学2． 1 i 2 iB ．3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右可以是14 ．若 sin ，则 cos 23、选择题本： 题共 12 小题， 每小题5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A x | x 1≥ 0 ，B 0 ，1，2 ，则 A BB ．C ． 1，2D ． 0 ，1 ，2方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯 视图D ．边的小长A．7B．97C．98D．95．的展开式中 4x 的系数A．10 B．20 C．40 D．806．直线x y 2 0 分别与x 轴，y轴交于A ， B 两点，点 P 在圆上，则△ABP 面积的取值范围A ．B ． 4，8C ． 2 ，3 2D ．2 2 ，3 2 7．函数4 2 2 y x x 的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，DX 2.4 ， P X 4 P X 6 ，则 p A ． 0.7 B ． 0.6 C ． 0.4 D ． 0.39． △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若△ABC2 2 2 的面积为 a b c ，则 C π π π 4 πA ．B ．C ．D ． 2 3 4 6 10．设 A ，B ，C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥D ABC 体积的最大值为A ． 12 3B ． 18 3C ． 24 32 211．设 F 1 ，F 2 是双曲线 x y D ． 54 3O 是坐标原点．过 F 2 作 C 的一条渐近线垂线，垂足为 a b P ．若 PF 1 6 OP ，则 C 的离心率为 A ． 5 B ．2C ． 3C ： 2 2 1（ a 0，b 0 ）的左，右焦点，的 log 2 0.3 ，则 A ． a b ab 0C ． a b 0 ab 12 ．设 a log 0.2 0.3 ， bB ． ab a b 0 D ab 0 a b、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13 ．已知向量 a= 1,2 ， b= 2, 2 ， c= 1,λ．若 c ∥ 2a+ b ，则 _____ ．x14．曲线 y ax 1 e 在点 0 ，1 处的切线的斜率为 2 ，则 a _______ ．15．函数f x cos 3x在 0，π 的零点个数为 ______ ．616 ．已知点 M 1，1 和抛物线2 4C ：y x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ， B 两点． 若∠AMB 90 ，则 k _______ ．17 ．（12 分）18 ．（12 分）二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；人数填入下面的列联表：三、解答题：共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第 22 、23 题为选考题，考生根据要求作答。

一）必考题：60分。

等比数列 1）求 an 中， a 的通项公式； na 1 1，a 5 4a 3 ．2）记 S 为 n a 的前 n m ．n项和．若 S m 63 ，求某工厂为提高生产效率， 开展技术创新活动， 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式． 为比较两 种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人。

第一组工人用第一种生产方式，第min ）绘制了如下茎叶图：2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工不超过m超过m第一种生产方式第二种生产方式（ 3 ）根据（2）中的列联表，99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异？能否有2 2 n ad bc2P K ≥ k0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82819．（12 分）如图，边长为 2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直， M 是CD 上异于 C ， D 的点．（ 1 ）证明：平面 AMD ⊥平面BMC ；（ 2 ）当三棱锥M ABC 体积最大时，求面 MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．求该数列的公差．21 ．（12 分）已知函数 2 已知函数f x 2 x ax ln 1 x 2x ．（1）若 a 0 ，证明：当 1 x 0 时， f x 0 ；当x 0 时， f x 0 ；（ 2 ）若x 0 是 f x 的极大值点，求 a ．二）选考题：共10 分。

请考生在第22、23 题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10 分）x cos ，在平面直角坐标系xOy 中，⊙ O 的参数方程为x cos（为参数），过点0 ， 2 且倾斜角为的y sin直线l 与⊙ O交于A，B 两点．（ 1 ）求的取值范围；（ 2 ）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．20 ．（12 分）已知斜率为k 的直线l22xyC： 1 交于 A ， B 两点，线段AB 的中点为 M 1 ，m m0 ．1）证明：2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且FA FPFP FA FB 0 ．证明：FB 成等差数23．［选修4—5：不等式选讲］（10 分）设函数 f x 2x 1 x 1 ．1）画出 y f x 的图像；2）当 x∈0，， f x ≤ ax b ，求 a b 的最小值．1 13.2 15.3 16.217.(12 分）解：（1）设{ a n} 的公比为q ，由题设得参考答由已知得 4 4 2 q q故n 1故a ( 2) 或n ，解得舍去）n 122 或q2）若 1 ( 2).由63 得( m188，此方程没有正整数解，解得.由S 63 得2综上，18.（12 分）解：（1）第二种生产方式的效率更高理由如下：75%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用第i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有二种生产方式的工人中， 有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟 .因此第二种生产方式的效率更高 .（ iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高 .（ iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布； 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多， 关于茎 7 大致呈对称分 布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同， 故可以认为用第二种生产方式完成生 产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高 . 学 科*网以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分79 81 m80 . 2（ 3 ）由于 240（15 15 5 5）K 10 6.635 ，所以有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异 .20 20 20 2012 分）2）由茎叶图知15. 列联表如2解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD , 交线为CD .因为BC⊥ CD ,BC 平面ABCD ,所以BC⊥平面CMD , 故BC⊥DM .因为M 为CD 上异于C，D 的点,且DC 为直径，所以DM⊥ CM.又BC CM =C,所以DM ⊥平面BMC .而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .D- xyz.2）以 D 为坐标原点, DA 的方向为x 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系当三棱锥 M- ABC 体积最大时， M 为 CD 的中点 .由题设得 D (0,0,0), A(2,0,0), B (2,2,0), C (0,2,0), M (0,1,1) ，AM ( 2,1,1), AB (0,2,0), DA (2,0,0)设 n (x, y, z) 是平面 MAB 的法向量 ,则可取 n (1,0, 2) .DA 是平面 MCD 的法向量 ,因此n DA 5cos n,DA，|n|| DA | 52 5sin n, DA ，5所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是3n AM 0,即n AB16.2x y z 0, 2y 0.19. 12 分)解：(1)设A(x , y ), B(x , y 1 1 2) ，则1,2y12两式相减， 并由y1 y由题设知于是1,5.①4m 3由题设得，故2)由题意得F (1,0) ，设P(x ,y ) ，则(x 1, y ) ( x 1, y ) (x 1, y ) (0,0) . 3 3 1 1 2 2由( 1)及题设得 x 3 3 (x 1 x 2) 1, y 3 ( y 1 y 2 ) 2m 0 .又点 P 在 C 上，所以 从而3P (1, ) ，23| FP |2于是| FA|x 1 ( x 1)1x 21(x 11) 同理 所以 x 2 | FB | 2 .21 | FA | |FB | 4 (x 12 x 2 ) 3.故2| FP | |FA|| FB |，即| FA |,| FP |,| FB |成等差数列 .设该数列的公差为 d ，则2 |d | || FB | | FA || | x12将m3代入①得4k 1.所以 的方程为7x ，代入 C 的方程，并整理得4x故12, xx1 21 ，代入 ②解得|d3 21|28 所以该数列的公差为 28 3 21 3 21 17.(12分 ) 解：(1)当 a 0 时， 设函数 28 28 当1 g( x) f (x)ln(1 (2 x 0 时， g (x) 0 ；当 x)ln (1 x ) 0 ，从而 f (x) 0 ，且仅当 x 所以 f (x) 在 ( 1, )单调递增 .学 .科网 3(1 ) 2(x14x x 1 2.②27x 14 x2x ， ( ) ln(1 f x 则g ( x) x2 . (1 x) 时， g (x) 0. 故当 时， 0 时， f (x) 0 . 又 f (0) 0，故当 1 x 0 时， f (x) 0；当 x 0 时， f (x) g (x) g(0) 0 ，且仅当 x 0时，( 2 )(i)若a 0 ，由( 1)知，当x 0 时，f (x) (2 x)ln(1 x) 2 x 0 f (0) ，这与x 0 是f (x) 的极大值点矛盾.822．[选修4— 4：坐标系与参数方程 ]( 10 分)【解析】( 1) O 的直角坐标方程为 x 2y21当时l 与 O 交于两点．2当时记 tan k ，则 l 的方程为ykx2k1 或k 1 ，即 或( , )(, )2 44 2综上， 的取值范围是 ( , )4 4x t cos , ( 2 ) l 的参数方程为 (t y 2 t sin为参数，设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ，t B ， t P ，则A2，解得2 ．l 与 O 交于两点当且|| 121 k)4 4t tA Bt ，且t B 满足t 22 2t sin 1 0．Ph (x) 0 ，所以 x 0 不是 h( x) 的极大值点 .如果 6a 1 0 ，则 3 h (x) x (x 2 (x 1)(x 24).则当 x ( 1,0) 时，h(x) 2 6x 12)所以 x 0 是 h( x) 的极大值点，从而 x 0 是 f ( x) 的极大值点 0；当 x (0 ,1) 时，h (x) 0 综上，a1ii )若 a 0 ，设函数h( x) f ( x) ln(1 x) 2 2x 2 由于当 1 时， | x| min{1, } | a|2 x ax 2 2 2 x ax 0 ，故 h( x) 与 x ax f (x) 符号又 h(0) f (0) 0 ，故 x 0 是 f (x) 的极大值点当且仅当 x 0 是 h(x) 的极大值点h (x)12(2 x ax ) 2x(1 2ax)2 2(2 如果 6a 1 0 ，则当x ax )6a 1 x4a| x| (x 1)(ax x 2)1时 ， } 时， |min{ 1,h (x) 0 ，故 x 0 不是 h( x) 的极大值 如果 6a 1 0 ，则4ax存在x 10 ，故当 x ( x 1 , 0) ，且 | x | min{1, 1}时 ， |a|x (a x 4ax 6a 1)2 2x t cos ,Py 2 t sinPt P 2sin ．又点 P 的坐标(x, y) 满于是t t 2 2sin ，足A B23．所以点 P 的轨迹的参数方程是［选修4—5：不等式选讲解析】（1） f(x)2）由（1）x 2sin 2 ,2］（10分）3x,xcos2（为参数，21知，y f(x)的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a 3 且b 2 时，f （x） ax b 在［0, ）成立，因此a b 的最小值为5 ．10。