数学分析试题及答案解析,(1)20xx ---20XX学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号(后两位)姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题(每小题3分,共21分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉) 1.若在连续,则在上的不定积分可表为(). 2.若为连续函数,则().3. 若绝对收敛,条件收敛,则必然条件收敛().4. 若收敛,则必有级数收敛()5. 若与均在区间I上内闭一致收敛,则也在区间I上内闭一致收敛().6. 若数项级数条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大().7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同(). 二. 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.若在上可积,则下限函数在上() A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若在上可积,而在上仅有有限个点处与不相等,则() A. 在上一定不可积;B. 在上一定可积,但是;C. 在上一定可积,并且;D. 在上的可积性不能确定. 3.级数 A.发散 B.绝对收敛C.条件收敛 D. 不确定 4.设为任一项级数,则下列说法正确的是() A.若,则级数一定收敛;B. 若,则级数一定收敛;C. 若,则级数一定收敛;D. 若,则级数一定发散;5.关于幂级数的说法正确的是() A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的;B. 在收敛域上各点是绝对收敛的;C. 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数;D. 在收敛域上是绝对并且一致收敛的;三.计算与求值(每小题5分,共10分) 1. 2.四. 判断敛散性(每小题5分,共15分) 1. 2.3. 五. 判别在数集D上的一致收敛性(每小题5分,共10分) 1. 2. 六.已知一圆柱体的的半径为R,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割,求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
(本题满10分)七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中(即底边在上),且上底边距水表面距离为10米,已知三角形底边长为20米,高为10米,求该三角形铁板所受的静压力。
(本题满分10分) 八. 证明:函数在上连续,且有连续的导函数.(本题满分9分) 20xx ---20XX学年度第二学期《数学分析2》B卷答案学院班级学号(后两位)姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一、判断题(每小题3分,共21分,正确者括号内打对勾,否则打叉) 1.✘ 2.✔ 3.✘ 4. ✔ 5.✔ 6. ✔ 7. ✔二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1.B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B 三.求值与计算题(每小题5分,共10分) 1. 解:由于-------------------------3分而---------------------------------4分故由数列极限的迫敛性得:-------------------------------------5分 2. 设,求解:令得=----------------2分= = -----------------------------------4分 = =---------------5分四.判别敛散性(每小题5分,共10分) 1. 解:-------3分且,由柯西判别法知,瑕积分收敛 -------------------------5分 2. 解:有 -----------------------------2分从而当 -------------------------------4分由比较判别法收敛----------------------------5分五.判别在所示区间上的一致收敛性(每小题5分,共15分) 1. 解:极限函数为-----------------------2分又 --------3分从而故知该函数列在D上一致收敛. -------------------------5分 2. 解:因当时,--------------2分而正项级数收敛,-----------------------------4分由优级数判别法知,该函数列在D上一致收敛.-------------5分 3. 解:易知,级数的部分和序列一致有界,---2分而对是单调的,又由于,------------------4分所以在D上一致收敛于0,从而由狄利克雷判别法可知,该级数在D上一致收敛。
------5分六. 设平面区域D是由圆,抛物线及x轴所围第一象限部分,求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积(本题满分10分)解:解方程组得圆与抛物线在第一象限的交点坐标为:,---------------------------------------3分则所求旋转体得体积为:-------------------------------7分=------------------ = ------------------------------------------------------10分七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶(厚度忽略不计),内中盛满水,求从中将水抽出需要做多少功?(本题满分10分)解:以圆柱上顶面圆圆心为原点,竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为:--------------------------------5分故所求为:-------------------------------------8分=1250 =12250(千焦)-----------------------------------10分八.设是上的单调函数,证明:若与都绝对收敛,则在上绝对且一致收敛.(本题满分9分)证明:是上的单调函数,所以有------------------------------4分又由与都绝对收敛,所以收敛,--------------------------------------7分由优级数判别法知:在上绝对且一致收敛.--------------------------------20xx---20xx学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号(后两位)姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一. 判断题(每小题2分,共16分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉) 1.若在[a,b]上可导,则在[a,b]上可积. ( ) 2.若函数在[a,b]上有无穷多个间断点,则在[a,b]上必不可积。
() 3.若均收敛,则一定条件收敛。
() 4.若在区间I上内闭一致收敛,则在区间I处处收敛()5.若为正项级数(),且当时有:,则级数必发散。
() 6.若以为周期,且在上可积,则的傅里叶系数为:() 7.若,则() 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。
()二. 单项选择题(每小题3分,共18分) 1. 下列广义积分中,收敛的积分是() A B C D 2.级数收敛是部分和有界的() A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件 3.正项级数收敛的充要条件是() A. B.数列单调有界 C. 部分和数列有上界D. 4.设则幂级数的收敛半径R=() A. B. C.D. 5. 下列命题正确的是() A 在绝对收敛必一致收敛 B 在一致收敛必绝对收敛 C 若,则在必绝对收敛 D 在条件收敛必收敛6..若幂级数的收敛域为,则幂级数在上 A. 一致收敛 B. 绝对收敛 C. 连续 D.可导三. 求值或计算(每题4分,共16分)1. ;2. 3. . 4.设在[0,1]上连续,求四.(16分)判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.;2. 3. ;4. 五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性(每题5分,共10分) 1. 2. ;六.应用题型(14分) 1. 一容器的内表面为由绕y轴旋转而形成的旋转抛物面,其内现有水(),若再加水7(),问水位升高了多少米? 2. 把由,x轴,y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体,求此旋转体的体积,并求满足条件的. 七.证明题型(10分)已知与均在[a,b]上连续,且在[a,b]上恒有,但不恒等于,证明:20xx ---20xx学年度第二学期《数学分析2》B试卷学院班级学号(后两位)姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一、判断题(每小题2分,共18分,正确者括号内打对勾,否则打叉) 1.对任何可导函数而言,成立。
() 2.若函数在上连续,则必为在上的原函数。
()3.若级数收敛,必有。
() 4.若,则级数发散. 5.若幂级数在处收敛,则其在[-2,2]上一致收敛.() 6.如果在以a,b为端点的闭区间上可积,则必有 .() 7.设在上有定义,则与级数同敛散.() 8.设在任子区间可积,b为的暇点,则与同敛散.() 9.设在上一致收敛,且存在,则. 二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 函数在上可积的必要条件是() A 连续 B 有界C 无间断点D 有原函数 2. 下列说法正确的是() A. 和收敛,也收敛 B. 和发散,发散 C. 收敛和发散,发散 D. 收敛和发散,发散 3. 在收敛于,且可导,则() A. B.可导 C. D. 一致收敛,则必连续 4.级数 A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定 5.幂级数的收敛域为:A.(-0.5,0.5)B.[-0.5,0.5]C.D. 三.求值与计算题(每小题4分,共16分) 1. 2. 3. 4. 四.判别敛散性(每小题4分,共16分) 1.;2. 3.. 4. 五.判别在所示区间上的一致收敛性(每小题5分,共10分) 1. 2. 六.应用题型(16分) 1.试求由曲线及曲线所平面图形的面积. 2.将表达为级数形式,并确定前多少项的和作为其近似,可使之误差不超过十万分之一. 七. (9分)证明:若函数项级数满足:(ⅰ);(ⅱ)收敛.则函数项级数在D上一致收敛. 014 ---20XX学年度第二学期《数学分析2》A卷答案三. 判断题(每小题3分,共21分) 1. ✔ 2. ✘ 3. ✔ 4. ✘ 5. ✔ 6. ✔ 7. ✘二.单项选择题(每小题3分,共15分) B, C, C, D, A 三.计算与求值(每小题5分,共10分) 1. 解:原式= =---------------------------2分=-------------------------3分==---------------------------5分 2.原式=-------------------------------2分=--------------------4分=---------------------------5分四. 判断敛散性(每小题5分,共15分) 1. ----------------------------2分且---------------------------------3分由柯西判别法知,收敛。