《极限计算练习》课堂测验的题解及其他各位同学：11月23日下午进行了《高等数学（上册）》的第2次课堂练习，从教学计划来说，这是例行的测验，从学习的角度看，也是对大家大半个学期来学习情况的一次检验。

测验的结果很不理想，出乎我的预料。

看来有相当数量的同学，还没有进入大学学习的轨道，没有化起码的功夫。

当然，学习好的同学也不少，我教的两个班上，有近30-40位同学的成绩一直稳定在90分上下，可见他们已经具有的数学基础很不错。

我很欣赏他们。

希望他们走向成功的明天。

我这么说其实还包含了一层意思：学数学是没有底的，不要满足于目前《高等数学》的层面，因为这门课毕竟只是对一般的理工科学生开设的，要求并不高，不要满足于能做几个题。

不知这些同学有没有理解我的苦心。

另外，我一直不认为分数是衡量数学好坏的绝对标准，即使那些考了90分的同学，只表明你做这几个“死”题做的不错，不等于能应用数学解决实际问题，活的数学题你们还没有接触到。

所以，每个人都要保持“在科学面前要有敬畏之心，谦卑之心”。

那些老是不及格，或在40—60分上下浮动的同学，要提高警惕，不要在大一上学期就被拉下，这样被动下去，你的大学生涯恐怕是不会乐观的，你的心里也许会有变化。

你的这个大学上得没有意思了。

同学们的队伍由此拉开了距离——就像长跑一样，拉开了距离，一般是很难追上的。

为此，我这里对其中若干题目进行分析，提供几种思路，供大家思考和回味，特别对不会做的同学，你还是要努力学懂啊！不要放弃！放弃了，没有可能再抓回了，第二年重修的人，很少能够通过，这是历史的教训。

我再次强调，解数学题没有定规，解题的角度不是固定不变的，我这里的解法未必覆盖全部，只是提供一种思考的角度，大家没有必要照抄照搬，也没有必要用一种解法去否定另一种解法。

对大家而言，能从不同的角度来分析和求解，是一种最好的学习方式。

第1大题的6个小题，比较简单，这次没有要求大家去做，但对有些同学来讲，等助教把试题本发下后，也请独立做一遍。

下面我从第2大题开始。

2. 判别下列极限0lim ()x f x →是否存在，若存在，请计算器极限值。

（1）()f x 111arctan 12x x =++； 1sin ,0()(1),0xexx x f x x x ⎧<⎪=⎨⎪+>⎩。

【分析】本题给出的2个函数，在0x =点处没有定义！却要我们求极限0lim ()x f x →，你能理解吗？这里我要特别强调，求函数值时，必须要有定义，但求极限却不必要求有定义，理由是极限过程是0x →，即趋向于0，永远不等于0。

那么，要判别极限是否存在的充要条件是什么呢？是0x →的左、右极限都存在，并且相等。

不知大家对左、右极限的理解如何? 所谓0x →的右极限是指变量x 从0的右边趋向于0，在这个过程中变量x 始终是正的；而0x →的左极限是指变量x 从0的左边趋向于0，在这个过程中变量x 始终是负的。

有了这些概念，求解这些题目应该是没有什么原则困难的。

当然结合具体函数，我们还要解决一些难点。

（1）这个函数的极限问题的难点在于处理好1arctan x和12x 在0x →的左、右极限。

首先右极限 01100001111(0)lim()lim arctan lim arctan lim 1212x x x x xxf f x xx +++++→→→→⎛⎫⎪==+=+ ⎪⎝+⎭+， 其中 第1个极限 01lim arctan lim arctan 2t x t x π+→+∞→==， 第2个极限 1111lim 0121lim 2x xxx ++→→==++， （因为1lim 2lim 2txt x +→+∞→==∞） 所以()f x 在0x →的右极限等于 10011lim()lim arctan 212x x xf x xπ++→→⎛⎫ ⎪=+= ⎪⎝+⎭。

再考虑左极限，01100001111(0)lim ()limarctan lim arctan lim 1212x x x x xxf f x xx -----→→→→⎛⎫⎪==+=+ ⎪⎝+⎭+， 其中 第1个极限 01lim arctan x x -→=lim arctan 2t t π→-∞=-， 第2个极限 111111lim 11lim 210121lim 2t x xxt x --→→-∞→====++++，所以()f x 在0x →的左极限等于 10011lim()lim arctan 1212x x x f x xπ--→→⎛⎫⎪=+=-+ ⎪⎝+⎭。

虽然()f x 在0x →时的左、右极限都存在，但不相等，则()f x 在0x →时的极限不存在。

（2）本小题的函数是一个分段函数，在在0x =点处没有定义，在0x =的两边的函数是不同的。

不难计算得到0sin sin lim ()lim lim x x x ex exf x e e x ex---→→→==⋅=， 10lim ()lim(1)xx x f x x e ++→→=+=， 可见()f x 在0x →时的左、右极限都存在，而且相等，则()f x 在0x →时的极限存在，且等于 0lim ()x f x e →=。

3. 计算下列极限（1）)x x →∞【分析】这是一个∞-∞的未定型极限，要做适当的处理。

解法1： 先将根号中的x 开出来，然后利用等价无穷小公式 (1)1(mm +-值无穷小量）：))lim 1)x x x x x x →∞→∞→∞==32121212lim (()lim()3333x x x x x x →∞→∞=+=+=。

（因为321x x+在x →∞时为无穷小） 解法2： 令1x t =，原式30001(2)123lim lim 3t t t t t t t →→→+⎫====⎪⎪⎭。

这个解法称为“倒数法”，以后在学积分时还会看到它的作用。

解法3：对上式中00型极限0t →采用L ’hospital 法则，但计算比上面采用等价无穷小麻烦。

大家可一试。

不要因为计算麻烦就否定它，那是中学思维。

（2） 43420tan ln(13)lim (1cos )(1)x x x x x x e →+++--【分析】 这是一个型极限。

当然可以一开始就用L ’hospital 法则，但未必计算容易。

解法一：用等价无穷小代换： 0x →时，有等价无穷小：tan x x ，33ln(13)3x x +，1cos x -212x ，212x e x -，这样原式等于434334423400042tan ln(13)33lim lim lim 31(1cos )(1)22x x x x x x x x x x x x e x x x x x→→→++++===+--++⋅。

这样就得出了结果，很简洁。

这里没有减法，可以放心地去做。

解法二：如果你能看出分子43tan ln(13)x x ++中的第2项等价于33x ，4tan x 等价于4x ，它等于3()o x ，所以分子可等价于33x +3()o x ；同理，分母中的第二项23(1cos )(1)xx e x --，故分母等价于33()x o x +。

这样，最中结果等于3。

解法三：用Taylor 公式也是一条路，留给大家。

一般而言，总是能化简的线化简，在用其他“重”武器。

等价无穷小代换，是一种不可缺少的基本功。

（3）1)ln(12)nn →∞+解法一：这是数列的极限，属于0⋅∞型。

数列的极限无法直接使用L ’hospital 法则或Taylor 公式等“武器”，但数列也有无穷小序列的概念，要充分利用。

本题的难点在于化简ln(12)n+，提出2n ，使得出现ln(12)n-+e 为底的指数，这些都可以认为是最基本的极限方法。

ln3lim 1)ln(12)lim (1)ln 2(12)nn n n n n e -→∞→∞⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦ln3lim (1)ln 2ln(12)nnn en -→∞⎡⎤=-++⎣⎦ （利用ln3ln 31nen- ln 3limln 2ln(12)lim(ln 3ln 22)ln 3ln 2n nn n n n--→∞→∞⎡⎤=++=⋅+=⋅⎣⎦。

最后第2个等号是因为等价无穷小 ln(12)2nn --+。

解法二： 先研究函数1()(31)ln(12)xxf x =-+在x →∞的极限，然后用到()f n 上去。

其实，解一已经很简洁，一般不用这么转来转去。

但有的情况下，这样思路也有价值。

（4）11cos lim sin2xx x π+→⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】这是一个1∞型极限，它总与e 有关。

（这一点，请各位千万别忘记！） 解法一： 引入变量代换，令x t π=-，那么x π→改为0t →，1111cos 1cos()1cos 00lim sinlim sin lim cos 222xt tx t t x t t πππ++--→→→-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00ln(cos ln(cos )22lim exp exp lim 1cos 1cos t t t t t t →→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又 000ln(cos )ln(1cos 1)cos 1222lim lim lim1cos 1cos 1cos t t t t t tt tt →→→+--==--- 2021122lim142t t t→⎛⎫- ⎪⎝⎭==-。

故 原式140ln(cos )2exp lim 1cos t t e t -→⎛⎫ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭。

解法二：1∞型极限问题也可以改写为 1(1)+的形式。

由解法一， 1111cos 1cos()1cos 00lim sinlim sin lim cos 222xt tx t t x t t πππ++--→→→-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0cos 112cos 121cos limcos 11cos 2lim 1cos12t tt t t tt t e→--⋅---→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，又 0cos 112lim 1cos 4t t t →-=--故得 原式140ln(cos )2exp lim 1cos t t e t -→⎛⎫ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭。

（5）230arcsin(1)lim sin ln(12)x x e x x x →---本题用等价无穷小做十分容易，留给大家吧。

（6）2lim n n →∞⎛⎫+++本题是一个无穷多个无穷小之和的极限，一个适用于两面夹准则的典型题目。

留给大家。

4. 计算极限 0sin 22cos lim lim nx nx x n x e x x e →→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭解：记 sin 22cos ()lim nx nx n x e x f x x e→∞+=+。