[e a t ]
s [cos a t ] 2 ; 2 s a a [sin a t ] 2 . 2 s a
1 ; sa
(1) L(3t 2 2sin 5t 6cos3t 4e2t ) (2) L(4t 3 3sin 4t 5cos 2t 6e2t ) (3) L(3t 2sin t 7 cos 4t 5et 的存在域一般是一个右半平面 Re s c , 即只要复数 s 的实部足够大就可以了。
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零， 即函数 f (t ) 等价于函数 f ( t ) u( t ) . 比如
1 ( 2 [ e ja t ]
[ e jat ] )
1 1 1 s ( ) 2 . 2 2 s ja s ja s a
10
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 1 (4) [ e a t ] 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; ; sa s s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) [ cos a t ] 2 ; 2 普 s a a m! Γ ( m 1) 拉 m (6) [ sin a t ] 2 . (3) [ t ] m 1 ; 2 m 1 斯 s a s s 变 jat s t 1 jat s t 换 e dt ) 解 (6) [ sin a t ] ( 0 e e dt 0 e 2j
即当t+时，函数f(t)的增长速度不超过某一个指数 函数， 0称为函数f(t)的增长指数.则函数f(t)的拉普拉 斯变换 st F (s) f (t )e dt
在半平面Re(s)> 0上存在.
0
5
§9.1 Laplace变换的概念
第 1 1 st s t , 九 练习1 [1] 0 1 e dt s e s 0 章 P214
(Re s 0) (Re s 0) (Re s 0)
拉 普 拉 斯 变 换
例 9.1
[u(t )]

0
u( t ) e
s t
dt 0 1 e


s t
1 dt , s 1 dt , s
[sgn t ]
P215 [e ] 例 9.2 P216 例9.3
解：当Re(s)>0时， 用分部积分法，得

[tn](s)=

n st t e dt 0
t st t e dt e s 0
n st
n n 1 st n t e dt s 0 s 0 n n 所以有 L [t ]( s ) L [t n 1 ](s ) s 1 当n=1时，有[t](s)= s 2 2 2 当n=2时，有 [t ](s)= 3 s
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§9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
课后练习 P235：习题九 2（1）（2）（5）（6）(可用上面的公式计算).
13
13
§9.1 Laplace变换的概念 第 附：人物介绍 —— 拉普拉斯 九 章 拉普拉斯 拉 普 拉 斯 变 换 Laplace，Pierre-Simon (1749～1827)
f(t)= -1 [F](t).
2
第 例 1 求阶跃函数 u ( t )= 九 章 解：当Re(s)>0时， 拉 普 拉 斯 变 换
0
1, 0,
st
t 0; 的拉普拉斯变换. t 0
[u](s)= f (t )e dt
e
st
s
0
1 s
例2 求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换，其中a是复常数.
(G 函数简介)
m 1 m s t m m 1 s t t e dt t e 0 0 s s s
[ t m 1 ]
m ( m 1) s2
[t
m2
m! ] m s
m! [ 1 ] m 1 . s
9
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 1 (4) [ e a t ] 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; ; sa s s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) [ cos a t ] 2 ; 2 普 s a m! Γ ( m 1) 拉 (3) [ t m ] m 1 ; m 1 斯 s s 变 ja t s t 1 jat s t 换 e dt ) 解 (5) [ cos a t ] ( 0 e e dt 0 e 2
at

0
sgn t e
s t
dt 0 1 e
s t

a t s t e e 0
1 1 (a s )t , (Re s Re a ) e dt sa as 0

要点 进行积分时，确定 s 的取值范围，保证积分存在。 6
§9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换


0
f (t )e st dt
在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的 函数记为
F (s) L [ f ](s )

0
f (t )e st dt .
称为函数的f(t)的拉普拉斯变换式，F(s)称为f(t)的拉 普拉斯变换(或称为象函数). 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的 拉普拉斯逆变换(或称为原象函数)，记作
解： 当Re(s)>Re(a)时，
at st
1 ( s a ) 1 e [f](s)= e e dt sa sa 0 0 1 at 即 [e u(t)](s)= , Re(s)>Re(a) sa

3
第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
例3 求函数tn的拉普拉斯变换，其中 n是正整数.
e st

0
1.
8
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; 普 m! Γ ( m 1) 拉 (3) [ t m ] m 1 ; m 1 斯 s s 变 m s t 1 m s t 换 m t de 解 (3) [ t ] 0 t e d t s 0
法国数学家、天文学家
天体力学的主要奠基人，天体演化学的创立者之一。 分析概率论的创始人，应用数学的先躯。
因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿
和天体力学之父。 14
§9.1 Laplace变换的概念 第 附：人物介绍 —— 拉普拉斯 九 1749 年 3 月 23 日，生于法国卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日。 章 拉 普 拉 斯 变 换
1
[ 1 ] 1. s
7
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; 普 拉 斯 变 换 s t [ ( t ) ] ( t ) e dt (2) 解 0
1 ( 2j [ e ja t ]
[ e jat ] )
1 1 1 a ( ) 2 . 2 2 j s ja s ja s a
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§9.1 Laplace变换的概念 第 4、常用 Laplace 变换公式： 九 1 章 (1) [1]= [u( t ) ] ; (4) s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) 普 m! Γ ( m 1) 拉 (6) ; (3) [t m ] m 1 m 1 斯 s s 变 换 练习 求拉普拉斯变换：
n


n 1 st t e dt 0
[tn](s)=
n! s n 1
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第 九 章 普 拉 斯 变 换
定理1（存在性定理）：若函数f(t)满足下列条件： (1) 在t0的任意有限区间上分段连续； (2) 存在常数 M >0 与 0 ，使得 0 拉 t
f (t ) Me 0 , t 0
(返回)
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1795 年任巴黎综合工科学校教授。
1816 年被选为法兰西学院院士，次年任该院院长。 1827 年 3 月 5 日，卒于巴黎。 曾任拿破仑的老师，并在拿破仑政府中担任过内政部长。 发表的天文学、数学和物理学的论文有 270 多篇。 专著合计有 4000 多页。其中最有代表性的专著有： 《天体力学》 、 《宇宙体系论》 和 《概率分析理论》 。
第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
第九章 Laplace 变换
§9.1 Laplace 变换的概念 §9.2 Laplace 变换的性质 §9.3 Laplace 逆变换 §9.4 Laplace 变换的应用
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第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
§9.1 拉普拉斯变换定义
定义8.1 设函数f(t)当t 0时有定义，而且积分