[答案] C
(理)若 a、b、c、d、x、y 是正实数，且 P＝ ab＋ cd，
Q＝ ax＋cy· bx＋dy，则( )
A．P＝Q
B．P≥Q
C．P≤Q
D．P>Q
[答案] C
(文)(2011·山东莱芜阶段测试)已知 a>0，b>0，且
2a＋3b＝1，则2a＋3b的最小值为(
)
A．24
B．25
C．26
D．27
解析：∵a>0，b>0,2a＋3b＝1， ∴2a＋3b＝2a＋3b(2a＋3b) ＝13＋6ab＋6ba≥13＋2 6ab·6ba＝25 等号在 a＝b＝15时成立， ∴2a＋3b的最小值为 25. 答案：B
D．[－4,4]
[答案] A
2．若 a>0，b>0，a，b 的等差中项是12，且 α＝a＋1a，
β＝b＋1b，则 α＋β 的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[答案] D
3．(文)(2011·绍兴抽样检测)已知 a≥0，b≥0，且 a
＋b＝2，则( )
A．ab≤12 C．a2＋b2≥2
B．ab≥12 D．a2＋b2≤3
解法 2：∵0<a<b，∴由基本不等式知a＋2 b> ab.
又 a＝22a<a＋2 b<22b＝b，a< ab<b，
∴a<
a＋b ab< 2 <b.
答案：B
利用基本不等式求最值
[例 2] (1)已知2x＋3y＝2(x>0，y>0)，求 xy 的最小值． (2)若 x、y∈R＋，且 2x＋8y－xy＝0.求 x＋y 的最小值． 分析：(1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解． (2)可消去一个变量，将 x＋y 用一个变量表示，再配凑 出能运用基本不等式的条件．
第二节
基本不等式
知识归纳 1．基本不等式：对任意 a、b∈_R__＋_，有a＋2 b≥ ab成 立，当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最_小__值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝ y 时，xy 有最_大___值S42.
一批货物随 17 列货车从 A 市以 akm/h 匀速直达 B
市，已知两地铁路线长 400km，为了安全，两列车之
间的距离不得小于2a02km，那么这批货物全部运到 B
市，最快需要( )
A．6h
B．8h
C．10h
D．12h
解析：第一列货车到达 B 市的时间为4a00h，由于两
列货车的间距不得小于2a02km，
∴第
17
列货车到达时间最早为400＋16·2a02＝400＋
a
a
a
2a5≥8，当且仅当 a＝100(km/h)．∴最快需要 8h.
答案若 M＝a2＋a 4(a∈R，a≠0)，
则 M 的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－4]
C．[4，＋∞)
R1＋R22－4R1R2 2R1＋R2
＝2RR1－1＋RR222>0，所以 RA>RB.
答案：A
(2011·陕西文，3)设 0<a<b，则下列不等式中正确
的是( )
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
解析：解法 1：取 a＝1，b＝2，易排除 A、C、D.
利用基本不等式比较大小 [例 1] (文)(2010·江苏南京)已知 b>a>0，且 a＋b＝1，
那么( )
A．2ab<aa4－－bb4<a＋2 b<b
B．2ab<a＋2 b<aa4－－bb4<b
a4－b4
a＋b
C. a－b <2ab< 2 <b
D．2ab<a＋2 b<b<aa4－－bb4
解析：∵b>a>0，a＋b＝1，∴b>12，∴2ab<a＋2 b2＝
a＋b 2
，
且
a2
＋
b2>
a＋b2 2
＝
1 2
.
∴
a4－b4 a－b
＝
(a
＋
b)(a2
＋
b2)>a＋2 b.
又
a4－b4 a－b
－
b＝
a2
＋
b2－
b
＝
2b2
－
3b
＋
1
＝
(1
－
b)(1－2b)<0.故应选 B.
答案：B
解析：RA＝R1＋2 R2，RB＝R21R＋1RR22，
RA－RB＝R1＋2 R2－R21R＋1RR22＝
已知 a，b>0，求证：ba2＋ab2≥a＋4 b. 分析：可对ba2＋ab2与 a＋b 分别运用基本不等式， 也可以对(a＋b)(ba2＋ab2)运用基本不等式．
基本不等式的实际应用 [例 4] (文)某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用 面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1800 元，面粉的保管等其它 费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210 吨时，其价格可享受 9 折优惠(即原价的 90%)，问该厂是否 考虑利用此优惠条件？请说明理由．
解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤(x＋22y)2， ∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0 解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去) ∴x＋2y 的最小值为 4(当且仅当 x＝2y＝2 时取等 号)． 答案：B
利用基本不等式证明不等式
[例 3] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9. 分析：待证式左边展开就是 ab 的表达式，故可由条件 先求 ab 的取值范围，再求关于 ab 的函数的值域；注意到 a ＋b＝1，也可以消去一个未知数展开整理，或对分子进行“1 的代换”，再展开证明．