装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'220y y x---=是（）A．齐次方程B．可分离变量方程C．一阶线性方程D．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z+-==-垂直的平面方程是（）A．4250x y z+-+=B．4250x y z++-= C．42110x y z+-+=D．42110x y z++-=3．设(,)ln()2yf x y xx=+，则(1,1)yf=（）A．0 B．13C．12D．24．若lim0nnu→∞=，则级数1nnu∞=∑（）A．可能收敛，也可能发散B．一定条件收敛C．一定收敛D．一定发散5．下列级数中发散的是（）A ．112nn∞=∑B．111(1)nn n∞-=-∑C．111n n n∞=+∑D．311(1)n n n∞=+∑得分装订线二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y-+=的通解为____________________。
2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b==-，则2a b+=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b==-，它们的夹角为θ，则c o sθ=____________________。
4．设xz y=，则dz=____________________。
5．设L是圆周229x y+=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy-+-⎰ 的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctanxzy=，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。
2．求微分方程()()0x y x x y ye e dx e e dy++-++=的通解。
3．求微分方程'cosyy x xx-=满足初始条件2|2xyππ==-的特解。
得分得分装订线4．判定级数14!nnnnn∞=⋅∑的敛散性。
5．计算二重积分Dxdxdy⎰⎰，其中D是由直线y x=和圆周22(1)1x y+-=所围成且在直线y x=下方的闭区域。
6．设区域D由,2,2y x y x xπ===围成，sin()1DA x y dxdy+=⎰⎰，其中A为常数，试求A的值。
7．计算曲线积分Lxydx⎰ ，其中L为圆周222()(0)x a y a a-+=>及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。
装订线四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1．要做一个具有体积为V的有盖圆柱形铁桶，问当高H与底半径R之比HR的值为多少时用料最省？2．设对任意的x和y,有224f fx y⎛⎫∂∂⎛⎫+=⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭,用变量代换221()2x uvy u v=⎧⎪⎨=-⎪⎩将(,)f x y变换成(,)g u v,试求满足2222g ga b u vu v∂∂⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭中的常数a和b。
3. 计已知()F x是()f x的一个原函数,而()F x是微分方程'xxy y e+=满足初始条件lim()1xy x→=的解,试将()f x展开成x的幂级数,并求1(1)!nnn∞=+∑。
得分1.5CM装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C 2、C 3、B 4、A 5、D二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．212(cos sin)xy e C x C x=+2．(6,1,4)-3．124．1lnx xy ydx xy dy-+5．18π-三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．22211()z yyxx x yy∂==∂++……………………………3分2222222222222()()z x y y x yx y x y x y∂+--==∂∂++……………………7分2．分离变量11y xy xe edy dxe e=--+…………………………………….4分积分ln(1)ln(1)lny xe e C-=-++…………………………….6分通解(1)(1)y xe e C-+=………………………………………….7分3．原方程化为1'cosy y x xx-=……………………………………………….2分11(cos)(cos)dx dxx xy e x x e dx Cx dx C-⎰⎰=⋅⋅+=+⎰⎰(sin)x x C=+……………………………………………5分由条件: (sin)222Cπππ-=+得: 2C=-…………………………………………………6分装订线特解为: (sin2)y x x=-………………………………….7分4．111(1)4!lim lim4(1)!n nnn nn nnu n nu n n+++→∞→∞+=⋅+…………………….5分11lim(1)144nnen→∞=+=<所以原级数收敛……………………………………………7分5．2sin400cosI d dπθθθρρ=⋅⎰⎰…………………………….5分3444821sin cos sin336dππθθθθ===⎰……………………..7分6．22sin()sin()xxDA x y dxdy A dx x y dyπ+=+⎰⎰⎰⎰………5分22200sin2sin3(cos2cos3)()233x x AA x x dx Aπππ=-=-=⎰由13A=, 得3A=……………………………………….7分7．2cos200cosaLDxydx xdxdy d dπθθρθρρ=-=-⋅⎰⎰⎰⎰⎰…..5分34328cos32a d aππθθ=-=-⎰……………………………….7分四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1、222A RH Rππ=+令2222()F RH R R H Vππλπ=++-………………….3分22242020RHF H R RHF R RR H Vπππλππλπ=++=⎧⎪=+=⎨⎪=⎩即22020H R RHRR H Vλλπ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩………………………………………..5分得: 2R H=, 即2HR=…………………………………7分1.5CM装订线2、由题意221(,)(,())2g u v f uv u v=-……………………………..1分所以''12gf v f uu∂=⋅+⋅∂，''12()gf u f vv∂=⋅+⋅-∂……………………………..3分因此有2222'222'2''121122()()()()2()g ga bu vav bu f au bv f uv a b f fu v∂∂⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+-++=+………………..5分利用'2'212()()4f f+=，即'2'221()4()f f=-得22'222'2''121122'2''2211122()()()()2()()()()2()44av bu f au bv f uv a b f fa b v u f a b uvf f au bvu v-+-++=+-+++-=+由此得14a=，14b=-……………………………………………..7分3、由'xxy y e+=得xe Cyx+=………………………………..2分根据lim()1xy x→=，有1C=-，故1()xeF xx-=……………….3分于是''1()(())()xef x F xx-==………………………………..4分而111!x nne xx n-∞=-=∑……………………………………………..5分故1''11()(())()(1)!x nne nxf x F xx n-∞=-===+∑……………………..6分于是'111[()]1(1)!xxnn en x∞==-==+∑…………………………..7分。