第二章第 6 节:函数得微分
教学目得:掌握微分得定义,了解微分得运算法则,会计算函数得微分,会利用微分作近似计算
教学重点:微分得计算
教学难点:微分得定义,利用微分作近似计算
教学内容:
1.微分得定义
计算函数增量就是我们非常关心得。

一般说来函数得增量得计算就是比较复杂得,我们希望寻求计算函数增量得近似计算方法。

先分析一个具体问题,一块正方形金属薄片受温度变
化得影响,其边长由变到(图21),问此薄片得面积改变了
多少？
设此薄片得边长为,面积为,则就是得函数:。

薄片受温
度变化得影响时面积得改变量,可以瞧成就是当自变量自
取得增量时,函数相应得增量,即。

从上式可以瞧出,分成两部分,第一部分就是得线性函
数,即图中带有斜线得两个矩形面积之与,而第二部分在图
中就是带有交叉斜线得小正方形得面积,当时,第二部分就
图21
是比高阶得无穷小,即。

由此可见,如果边长改变很微小,
即很小时,面积得改变量可近似地用第一部分来代替。

一般地,如果函数满足一定条件,则函数得增量可表示为
,
其中就是不依赖于得常数,因此就是得线性函数,且它与之差
,
就是比高阶得无穷小。

所以,当,且很小时,我们就可近似地用来代替。

定义设函数在某区间内有定义,及x在这区间内,如果函数得增量
可表示为 , ①
其中就是不依赖于得常数,而就是比高阶得无穷小,那么称函数在点就是可微得,而叫做函数在点相应于自变量增量得微分,记作,即。

定理1 函数在点可微得充分必要条件就是函数在点可导,且当在点可微时,其微分一定就是。

设函数在点可微,则按定义有①式成立。

①式两边除以,得。

于就是,当时,由上式就得到。

因此,如果函数在点可微,则在点也一定可导(即存在),且。

反之,如果在点可导,即
存在,根据极限与无穷小得关系,上式可写成
,
其中(当)。

由此又有。

因,且不依赖于,故上式相当于①式,所以在点也就是可微得。

由此可见,函数在点可微得充分必要条件就是函数在点可导,且当在点可微时,其微分一定就是。

②
例1 设,求
解:
微分在近似计算中得应用:在得条件下,以微分近似代替增量时,相对误差当时趋于零。

因此,在很小时,有精确度较好得近似等式。

即
或
特别地,当很小时,有(3)
(3)式就是计算零点附近得函数值
当很小时,有下列近似计算公式:
例证明:。

(当很小时)
令
因为
由
故,当很小时,
例2一个充好气得气体,m,升空后,因外面气压降低,气球半径增大了10cm,求体积增加了多少？
解:因为
所以
例3求得近似值.
解设,取,则
所以
或者:
2.微分得几何意义
为了对微分有比较直观得了解,我们来说明微分得几何意义。

在直角坐标系中,函数得图形就是一条曲线。

对于某一固定得值,曲线上有一个确定点当自变量有微小增量时,就得到曲线上另一点、从图22可知:
,。

过M点作曲线得切线,它得倾角为,则
,
即。

由此可见,当就是曲线上得M点得纵坐标得增量时,就就
图22
是曲线得切线上M点得纵坐标得相应增量。

当很小时,比小得多。

因此在点得邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

3.微分运算法则及微分公式表
由,很容易得到微分得运算法则及微分公式表(当都可导):
,
,
,。

微分公式表:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,。

注:上述公式必须记牢,对以后学习积分学很有好处,而且上述公式要从右向左背。

例如: ,
,
,。

4.复合函数微分法则
与复合函数得求导法则相应得复合函数得微分法则可推导如下:
设及都可导,则复合函数得微分为。

由于,所以,复合函数得微分公式也可以写成
或。

由此可见,无论就是自变量还就是另一个变量得可微函数,微分形式保持不变。

这一性质称为微分形式不变性。

这性质表示,当变换自变量时(即设为另一变量得任一可微函数时),微分形式并不改变。

例4 求得微分
解
自我训练:(1),求。

(2),求。

(3)有一半径为得铁球,镀上0、01cm厚得银,问大约用多少体积得银。

小结:本节讲述了微分得定义,练习了微分得运算与利用微分作近似计算
希望大家熟记微分公式,为以后学习积分大好基础。