2018 数一真题与解析(1)下列函数不可导的是:A. y = x sin x . B. y = x sin x .C. y = cos x .D. y = cosx .(2)过点(1,0,0,)与(0,1,0)且与 z = x 2 + y 2 相切的平面方程为A. z = 0与x + y - z = 1 B. z = 0与2x + 2y - z = 2C. y - x 与x + y - z =1 D. y - x 与2x + 2y - z = 2∞n(2n +1)!=2n + 3(3) ∑(-1)n =0A.sin1+cos1 C.sin1+cos1B.2sin1+cos1 D.3sin1+2cos1⎰⎰⎰--π(4) M =1+ x dx , N =-π2π2π22e x 222dx , K = 2 (1+π (1+ x )2π 1+ x 2, 则 M , N , K 的大小关系为A. M > N > K .C. K > M > N .(5)⎝⎭下列矩阵中,与矩阵 0 1 ⎪ 0⎛ 1110 B. M > K > N .D. K > N > M .⎫1 ⎪⎪ 相似的为A. ⎪ 00 1 ⎪1 1 ⎪.⎛ 11-1⎫0 B. ⎪ 00 1 ⎪1 1 ⎪.⎛ 10-1⎫0C. ⎪ 0⎝⎛ 1 0110 ⎪.0⎭-1⎫⎝⎭⎝⎭D. ⎪1 ⎪ 0 1 ⎪⎝⎛ 1 0010 ⎪.0⎭-1⎫(6)设 A , B 为 n 阶矩阵,记r ( X ) 为矩阵 X 的秩, ( X ?Y ) 表示分块矩阵,则A. r (A |AB ) = r (A ). B. r (A |BA ) = r (A ).C. r ( A |B ) = max {r (A ), r (B )}.D. r (A |B ) = r (A T|B T ).⎰2( 7 ) 设 f (x ) 为某分部的概率密度函数, f (1+ x ) = f (1- x ) ,f (x )dx = 0.6 ,则⎪(9) lim= e ,则k =x →0 ⎝ 1+ tan x ⎭⎛ 1- tan x ⎫sin k xp {x >0} =.A.0.2B.03C.0.4D.0.6(8)给定总体 X N (μ,σ 2 ),σ 2 已知,给定样本 X , X ,…,X , 对总体均值 μ 进行检验,12n令 H 0 : μ = μ0 , H 1 : μ ≠ μ0 , 则A.若显著性水平a = 0.05 时拒绝 H 0 ,则 a = 0.01时也拒绝 H 0 .B.若显著性水平a = 0.05 时接受 H 0 ,则 a = 0.01时也拒绝 H 0 .C.若显著性水平a = 0.05 时拒绝 H 0 ,则 a = 0.01时接受绝 H 0 .D.若显著性水平a = 0.05 时拒绝 H 0 ,则 a = 0.01时也接受 H 0 .1x⎰'(10) y = f (x )的图像过(0,0),且与y = a 相切与(1,2),求xf (x )dx =1(11) F (x , y , z ) = xy ε + yz η + xzk , 求 rot F (1,1, 0) =.(12)曲线 s 由 x 2 + y 2 + z 2 = 1与 x + y + z = 0 相交而成,求 ⎰xydS =( 13 )二阶矩阵 A 有两个不同特征值, a 1, a 2 是 A 的线性无关的特征向量,A 2 ( a + a ) = ( a + a ) 则,A12122411(14) A , B 独立, A ,C 独立,BC ≠ φ, P ( A ) = P (B ) =, P ( A C AB C ) =, 则 P (C ) =15求不定积分⎰e 2 x arctan e x -1dx16一根绳长 2m,截成三段,依次折成圆、三角形、正方形,这三段分别为多长是所得 的面积总和最小,并求该最小值。
17x = 1- 3y 2 - 3z 2 取正面,求⎰⎰ x dydz + ( y 3 + z )dxdz + z 3dxdy∑18微分方程 y ' + y = f (x )(Ⅰ)当 f (x ) = x 时,求微分方程的通解.(Ⅱ)当 f (x ) 为周期函数时,证微分方程有通解与其对应,且该通解也为周期函数.n n x x 1n +1n {}{}n →∞n n (19)数列 x , x > 0,x e = e -1. 证: x 收敛,并求lim x .(20)设实二次型 f (x , x , x ) = (x - x + x )2 + (x + x )2 + (x + ax )2 , 其中a 是参数.1231232313(Ⅰ)求 f (x 1, x 2 , x 3 ) = 0 的解;(Ⅱ)求 f (x 1, x 2 , x 3 ) 的规范形.a ⎫ 2(21)已知a 是常数,且矩阵 A = 1⎛ 1⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪1 ⎪⎛ 1 2 ⎫2a 3 a ⎪ 可经初等列变换化为矩阵 B = 01 1 ⎪ .7-a ⎪ -111求a ;2求满足 AP = B 的可逆矩阵 P .(22) X ,Y 随机变量相互独立, P {X = 1} = y 1, P {X = -1} = y 2 , Y 服从λ 的泊松分布.Z = XY(Ⅰ)求cov( X , Z ).(Ⅱ)求 Z 得概率分布.-x2σ(23) X 1, X 2 ,…Xn 来自总体 X 的分布, f (x ) = e σ(σ未知,-∞ < x < +∞).1(Ⅰ)求σ 得极大似然估计.(Ⅱ)求 E (σ ) , D (σ ).2018 考研数学一答案解析一、选择题:本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。
(1)【答案】Dxx 2【凯程解析】由定义得 lim =cos x -1xx →0+x →0+= lim 2= - 1 ;xx 2lim =cos x -1xx →0-= lim 2= 1 .x →0-(2)【答案】B【解析】已知平面过(1,0,0)(0,1,0) 两点, 可得切平面内一向量(1,-1,-0), 曲面z = x 2 + y 2 的切平面法向量为(2x , 2 y , -1)∴2x - 2y = 0 即 x = y .(3)【答案】B(2n + 2)!(2n +1)!∞∞= ∑(-1)n 1 + ∑(-1)n 2 = 2sin1+ cos1.(2n +1)!(2n +1)!(2n +1)!∑(-1)n2n + 3 =∑(-1)n2n +1 +∑(-1)n2∞∞∞n =0n =0n =0n =0n =0(4)【答案】C⎰⎰⎰⎰----ππππN =M =⎰e x π 1+ x dx =dx = π ;-π2K = 2 (1+cos x)dx > π ,∴ K > M .2π22dx = 2 (1+ x )e x dx ;-π2π21+ x 222π1+ x 2 + 2x(5)【答案】AA 的特征值为λ1 = λ2 = λ3 = 1,而r (λE - A ) = r (E - A ) = 2.(6)【答案】C由秩的定义,可知C 正确 (7)【答案】A⎰2f (x )dx = 0.6 从而已知 f ( 1+ x )= f ( -1可得 f (x ) 图 像 关 于 x = 1 对 称 ,P (x ≤ 0 =)0(8)【答案】选 D。
【解析】若显著性水平 a = 0.05 时接受 H 0 , 可知检验统计量 Z ≤ U 0.025 ,此时Z ≤ U 0 . 0 0 ,选 D.(9)【答案】 K = -2 。
【解析】⎝⎭⎪lim 1+ tan x ⎪lim sin kx 1+ tan xx →0 ⎝⎭x →0⎛ 1- tan x ⎫sin k x = e ,∴1⎛ 1- tan x -1⎫ = 1,1kx 1+ tan xk ∴lim 1-2 t an x = - 2 = 1,∴k = -2.x →0(10)【答案】2ln 2 - 2⎰⎰⎰''''m||【解析】xf (x )dx =xdf (x ) = xf (x ) - f (x )dxf (1)- f (x )0011111= 2ln 2 - f (1) + f (0) = 2ln - 2.(11)【答案】(1,0,-1)。
ij k∂∂ ∂∂x xy∂yyz ∂z = ( y , -z , -z )xz【解析】rot F =(1,1,0)= (1, 0, -1).⎭⎝⎭⎪lim 1+ tan x ⎪lim sin kx 1+ tan x1⎛ 1- tan x -1⎫ = 1,x →0 ⎝x →0⎛ 1- tan x ⎫sin k x = e ,∴1(12)【答案】-π3⎩x + y + z = 02【解析】 L : ⎨1, ⎰ L xyds = ⎰ L [- (x + y )]ds ,22⎧x 2 + y 2 + z 2 = 1⎰ L2363[1 - 2]ds = - 1 2π = - π .∴λ = ±∴λ = λ = 1,1, λ = ±1,∴ A = -1【解析】 A (λ a + λ a ) = λ a + λ a = a + a ,1212221 1 2 2 1 1 2 21222(13)【答案】Aa 1 = λ1a 1, Aa 1 = λ1a 1, Aa 2 = λ2a 2 , A (a 1 + a 2 ) = λ1a 1 + λ2a 21(14)【答案】。
4=p ( A B ⋃ C )p ( A B ) + p (C ) - p ( A BC )【凯程解析】 p ( A C AB ⋃ C ) =p [( A C )( A B ⋃ C )]p ( A BC ⋃ AC )==2p ( A C )= 1 ,∴ p (C ) = 1 . 441 p (C )1 + p (C ) 1 + p (C )44三、解答证明题2(15) ⎰e 2 x arctan e x -1dx =1 ⎰arctan e x -1de 2x3dx x x xe xe x1114 ⎝ 3e x -1-1 1 ⎛ 2e x -14 d (e x -1)124e arctan e -1 -= 11e x -14e x -1 - 1 ⎰2 ⎰1+ (e x -1)e x -1 - 1=e 2 x arctan e x-1 -(e x -1)2 +e x -1 + C .262(e x -1)2+ C =e 2 x arctan 23= 1 e 2 x arctan e x -1 ⎰ e x -1 +22 x = 1 e 2 x arctan2= 1 e 2 x arctan 2e 2 x 2 e x -1 dx (16)解:设圆的周长为 x ,正三角周长为 y ,正方形的周长为 z ,由题设 x + y + z = 2 。