第二章 直线与平面的位置关系
一、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为
A ∈L ，
B ∈L
=>L α A ∈α，B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理2作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。
异面直线既不相交也不平行。
异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。
这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。
5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。
（2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
（4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a ∩α=A a ∥α
L A
·
α C ·
B ·
A · α P · α
L β
共面直线
2
2直线、平面平行的判定及其性质
2.1 线面平行的判定定理
1、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
2.2 平面与平面平行的判定
1、判定定理1：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行则面面平行。
2、判定定理2:如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两
个平面平行。
3、判定定理3：平行于同一个平面的两个平面平行。
4、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.3 —2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、平面与平面平行的性质定理1：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线
平行。
简记为：面面平行则线线平行。
3、平面与平面平行的性质定理2：如果两个平面平行，则在一个平面内的所有直线都平行
于另一个平面。
4、平面与平面平行的性质定理3：如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一
个平面也垂直于这条直线。
空间点直线平面的位置关系练习题
一、选择题
1．三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或2条
2．两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）A．4个B．5个C．6个D．8个
3．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个
4．在空间四点中，三点共线是四点共面的（）A．充分必要条件B．必要非充分条件
C．充分非必要条件D．既非充分又非必要条件
5．若直线a、b异面，直线b、c异面，则a、c的位置关系是（）A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．以上都有可能
6．正方体ABCD—A1B1C1D1中，所有各面的对角线中与AB1成60°角的异面直线的条数有（）A．2条B．4条C．5条D．6条
7．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点如果EF 与
HG 交于点M ，则
（ ）
A ．M 一定在直线AC 上
B ．M 一定在直线BD 上
C ．M 可能在AC 上，也可能在B
D 上 D ．M 不在AC 上，也不在BD 上 8．在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，设BC+AD=2a ，则MN 与a
的大小关系是
（ ）
A ．MN>a
B ．MN=a
C ．MN<a
D ．不能确定
9．“a 、b 是异面直线”是指：（1）,)2(;,,φφβα=⋂=⋂⊂⊂b a b a b a 且平面平面 且;,)4(;,,)3(;,ααφβαβα⊄⊂=⋂⊂⊂b a b a b a 平面且平面平面不平行 （5）不存在平面.,,ααα⊂⊂b a 且使 上述说法中，正确的是
（ ）
A ．（2）和（4）
B ．（2）和（5）
C ．（2）、（4）和（5）
D ．（2）、（3）、（4）和（5） 10．右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：
①AB 与CD 所在直线垂直； ②CD 与EF 所在直线平行 ③AB 与MN 所在直线成60°角； ④MN 与EF 所在直线异面 其中正确命题的序号是 （ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．用一个平面去截正方体。
其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 12．设平面,,,βαβα⊂⊂=⋂c b a 平面则直线b 和c 是异面的充要条件是 .
13．若E 、F 、G 、H 顺次为空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG=3，
FH=4，则AC 2+BD 2= .
14．A 、B 是直线a 上两点，直线b 与a 异面，C 、D 是直线b 上两点，AB=8，CD=6，M 、
N 是AD 、BC 的中点，且MN=5，则a ,b 所成的角为 . 三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．已知：.//,,,,a PQ b P A b a b a ∈=⋂⊂⊂αα
)12..(:分求证α⊂PQ
16．已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线。
（12分）。