上限解、下限解与精确解的比较
上限法优点


适用于平面应变问题，轴对称和三维问题，如非 轴对称型材的挤压、拉拔、轧制与锻压等。 上限法由设计速度场入手，速度场直观、易想象 ，可借助于试验，如网格试验，得到金属的流线 ，再由设计的流函数去求机动许可速度场。 上限法便于与计算机结合，自动将工件分为矩形 ，三角形截面单元，每一单元均对应一定的相邻 关系和一定的力学特征。将标准模式块的组合关 系输入后，计算机可优化处理。通过虚单元法， 模拟工件与工具间的接触面上单位压力分布及进 行模具的设计。
第10章 塑性极值原理和上限法
第9章 功平衡法和上限法及其应用
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 功平衡法 极值原理及上限法 速度间断面及其速度特性 Johnson上限模式及应用 Aviztur上限模式及应用
采用近似解法求解金属塑性加工变形力学问题，据原理有 两类：一类是根据力平衡条件求近似解，如工程法；另一类是 根据能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。 功平衡法是利用塑性变形过程的功平衡原理来求解变形力 的近似解；极值原理是根据虚功原理和最大塑性功耗原理，确 定物体总位能接近于最低状态下，即物体处于稳定平衡状态下 变形力的近似解。
SD
外力所作 的虚功率
虚应变功 率消耗
剪切功率 的消耗
裂纹形成 的功率
（当变形体处于塑性屈服状态， =K剪切屈服强度）
四、最大散逸功原理
对于刚塑性体而言，若应变增量场一定，在所 有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合 应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大， 其表达式为
(
V
' ij
基本能量方程
N = Nd + Nt + Nf + Nq
Nd

v
ij dv ij
塑性变形功率消耗 速度间断面上剪切功率消耗 接触面上摩擦功率消耗 附加外力消耗的（取“+”号）或 向系统输入的附加功率（取“-”号）
N t st t v t ds
N f sv f v i ds
根据塑性变形体积不变条件可知，
垂直于dSD上的速度分量必须相等， 即 u u ，而切向速度分量可以不等， 造成①、②区的相对滑动。其速度间 断值为
1 t 2 t
1 n 2 n
[Vt ] u u
速度间断面就是沿SD的一个速度急剧而连续变化 的薄层区，如下图所示。
变形体由于存在速度间断，要消耗一定的剪切功 率，其值为
二、虚功原理与基本能量方程式
变形体的虚功原理可表述如下：如对载荷系（力系）作 用下处于平衡状态的变形体给予一符合约束条件的微小虚位 移时，则外力在虚位移上所作的虚功，必等于变形体内应力 在虚应变上所作的虚功（虚应变能、功增量）。
现设一处于平衡受力状态的塑性变形体，其体积为V， 总表面积S分为ST和Su两部分，ST上的表面力Ti已知，
§9.3 速度间断面及其速度特性
速度间断面
速端图及速度间断量的计算
速端图是以代表刚性区内一不动点O为所有速度矢量的 起始点（也称为基点或极点），所作变形区内各质点速度矢 量端点的轨迹图形，它是研究平面应变问题时，确定刚性界 面和接触摩擦界面上相对滑动速度（即速度间断量）的一个 重要工具。
矩形断面板条平面应变压缩问题
Su的位移增量dui(或位移速度 u i 场为 ij ),根据虚功原理有:


)已知，变形体
的应力场为 ij ,应变增量场为 d ij (或应变速率
T du dS
S i i V
ij
d ij dV
若以u i 代替 dui ，以 ij 代替d ij ，功增量变为功率，则虚功率方程为
极值原理包括上限定理和下限定理，都是根据虚功原理 和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。 上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条 件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载 荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近 似值，故称上限解； 下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条 件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于 （理想情况下才等于）真实载荷，即低估的近似解，故称下 限解。
§9.1 功平衡法
功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形 力的一种近似方法，又称变形功法。 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作 的外部功（WP）等于物体塑性变形所消耗的应变功（Wd）和接 触摩擦功（Wf）之和，即： WP = Wd + Wf 对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式： dWP = dWd + dWf
dWf

F
τ f du f dS
于是由功平衡方程，得到了总的变形力P为
P [ T V d e dV f du f dF] / duP
F
由于塑性变形总是不均匀的，计算 d是比较困难的， ij 通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变 形功法。
§9.2 极值原理及上限法

sp
p i v' i ds

v
ij dv sv t v' i ds N k ij
式中，
pi
为真实载荷。
用上限法计算塑性加工过程的极限载荷的关键在于拟设 塑性变形区内的虚拟运动学许可速度场，这种速度场应满足 以下三个条件： （1）速度边界条件； （2）体积不变条件； (3) 保持变形区内物质的连续性。 而与此速度场对应的应力场则不一定要求满足力平衡条件 和力的边界条件。


Tu
S i

i
dS ij ij dV
V

对于刚塑性体，由于应力球张量不做功，故上式又可写成
Tu
S i

i
dS ij ij dV
' V

三、速度间断
实际上，在刚塑性变形体内可能存在位移（增 量）或速度不连续的情况，这点必须考虑。 现设变形体被速度间断面SD分成①和②两个区 域；在微段dSD上的速度间断情况如下图所示。
2 ( u u t t )dS D [Vt]dS D 1 SD SD

如果变形体内存在若干个速度间断面，则所消耗 的功率等于各个面所消耗功率的总和。于是，对 于变形体存在速度间断时的虚功（率）方程应为:
T dS
S i i V
ij ij
dV t i dSD Nk
根据虚功原理和最大 散逸功原理得出的。
上限定理：按运动学许可速度场（主要满足速度边界 条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这 一变形载荷总是大于（理想情况下才等于）真实载荷 ，即高估近似值，故称上限解。
下限定理：按静力学许可应力场（主要满足力的边界 条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它 总是小于（理想情况下才等于）真实载荷，即低估近 似解，故称下限解 。
ds
求解的基本步骤


根据变形的具体情况，或参照该问题的滑移线场，确定变 形区的几何位置与形状，再根据金属流动的大体趋势，将 变形区划分为若干个刚性三角形块； 根据变形区划分刚性三角形块情况，以及速度边界条件， 绘制速端图； 根据所作几何图形，计算各刚性三角形边长及速端图计算 各刚性块之间的速度间断量，然后计算其剪切功率消耗； 求问题的最佳上限解，一般划分的刚性三角形块时，几何 形状上包含若干个待定几何参数，所以须对待定参数求其 极值，确定待定参数的具体数值以及最佳的上限解。
例一：平冲头压入半无限体
各块间的剪切功率 p•(W/2)·vo = k(OB·Δ vOB+ AB·Δ vAB+ BC·Δ vBC+ AC·Δ vAC+ CD·Δ vCD)
例二 板条平面应变挤压
§9.5 Aviztur上限模式及应用
基本思路： 用一个连续速度场vi = fi(x, y, z)来描述整 个变形区内金属质点的流动 考虑塑性区与刚性区界面上速度的间断性及摩 擦功率的影响
Nq
sp
qi v i ds
总的塑性变形功耗
N d T v e dV
例一：直角坐标平面应变问题 ——考虑侧鼓时板坯的平锤压缩
例二：极坐标平面应变问题
——宽板的平辊轧制
例三：圆柱坐标轴对称问题
——圆盘的镦粗
例四：球坐标轴对称问题
——圆棒的拉拔或挤压
一.概述 极值原理包括上限定理和下限定理。
dWP为外力所作功的增量 外力P沿其作用方向产生的位移增量为duP，则
dWp P du p
dWd为塑性变形功增量 单元体积的塑性变形功增量为
dWd σijdεijdV (σ1dε1 σ2dε 2 σ3dε3 )dV
dWf为接触摩擦所消耗功的增量 若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为duf，则
屈服轨迹，故同样存在如下的关系式


V
*'
将上述两式对时间求导，则得
V ' *' ( ij ij ) ij dV 0

V
(
*' ij
) ij dV 0
' ij
*
五、上限法原理
用上限法计算极限载荷时，只假设塑变区的位 * * u 移状态为动可容速度场 u （或位移场 i i ），它满足 下列三个条件： 1）满足速度（或位移）的边界条件，即在位移面 * * 上 Su ， u i＝ u i 或 u i ＝u i ，u i 或 u i 为给定的真实速度或 真实位移。 2）变形体在变形时保持连续形，不发生重叠和开裂 3）满足体积不变条件
§9.4 Johnson上限模式及应用