总习题一1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、 数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、(2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是)(lim 0x f x x →存在的________条件、 )(lim 0x f x x →存在就是f (x )在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0x f x x 就是f (x )在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、(4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0x f x x →存在的________条件、解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、2、 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ).(A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x xx x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→3ln 2ln )1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) .所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B .3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2222ππππ+≤≤-n x n (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),即函数f (cos x )的定义域为[2,22ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)、4、 设⎩⎨⎧>≤=0 00)(x x x x f , ⎩⎨⎧>-≤=0 0 0)(2x x x x g , 求f [f (x )], g [g (x )], f [g (x )], g [f (x )]、 解 因为f (x )≥0, 所以f [f (x )]=f (x )⎩⎨⎧>≤=0 00x x x ;因为g (x )≤0, 所以g [g (x )]=0; 因为g (x )≤0, 所以f [g (x )]=0; 因为f (x )≥0, 所以g [f (x )]=-f 2(x )⎩⎨⎧>-≤=0 002x x x 、 5、 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形: (1)y =|sin x |; (2)y =sin|x |; (3)2sin 2x y =、6、 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥、 试将这圆锥的体积表为α的函数、解 设围成的圆锥的底半径为r , 高为h , 依题意有 R (2π-α)=2πr ,παπ2)2(-=R r ,παπαπαπ244)2(2222222-=--=-=RR R r R h 、圆锥的体积为παπαπαππ244)2(312222-⋅-⋅=RR V22234)2(24a R -⋅-=πααππ(0<α<2π)、 7、 根据函数极限的定义证明536lim23=---→x x x x 、证明 对于任意给定的ε>0, 要使ε<----|536|2x x x , 只需|x -3|<ε, 取δ=ε, 当0<|x -3|<δ时, 就有|x -3|<ε, 即ε<----|536|2x x x , 所以536lim 23=---→x x x x 、 8、 求下列极限:(1)221)1(1lim-+-→x x x x ;(2))1(lim 2x x x x -++∞→;(3)1)1232(lim +∞→++x x x x ; (4)30sin tan limx x x x -→;(5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2)(sin lim π→、解 (1)因为01)1(lim 221=+--→x x x x , 所以∞=-+-→221)1(1lim x x x x 、(2))1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x 、(3)2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x xe x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim 、(4)xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→21)2(2lim cos 2sin 2sin lim 320320=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换)、 (5)x c b a c b a xx x x xx xx x x x x x x x c b a c b a 3333010)331(lim )3(lim -++⋅-++→→-+++=++, 因为e c b a x x x c b a x x x x =-+++-++→330)331(lim ,)111(lim 3133lim 00xc x b x a x c b a xx x x x x x x -+-+-=-++→→ ])1ln(1lim ln )1ln(1lim ln )1ln(1lim [ln 31000v c u b t a v u t +++++=→→→3ln )ln ln (ln 31abc c b a =++=,所以3ln 103)3(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→、提示: 求极限过程中作了变换a x -1=t , b x -1=u , c x -1=v 、 (6)xx x x xx x x tan )1(sin 1sin 12tan 2)]1(sin 1[lim )(sin lim -⋅-→→-+=ππ, 因为 e x x x =-+-→1sin 12)]1(sin 1[lim π,x x x x x x x cos )1(sin sin limtan )1(sin lim 22-=-→→ππ01sin cos sin lim )1(sin cos )1(sin sin lim 222=+-=+-=→→x x x x x x x x x ππ, 所以1)(sin lim 0tan 2==→e x x x π、9、 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=01sin )(2x x a x xx x f , 要使f (x )在(-∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a ? 解 要使函数连续, 必须使函数在x =0处连续、 因为 f (0)=a ,a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200, 01sin lim )(lim 00==++→→xx x f x x ,所以当a =0时, f (x )在x =0处连续、 因此选取a =0时, f (x )在(-∞, +∞)内连续、 10、 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01 )1ln(0)(11x x x e x f x , 求f (x )的间断点, 并说明间断点所属类形、 解 因为函数f (x )在x =1处无定义, 所以x =1就是函数的一个间断点、因为0lim )(lim 1111==-→→--x x x e x f (提示-∞=--→11lim 1x x ),∞==-→→++1111lim )(lim x x x e x f (提示+∞=-+→11lim 1x x ),所以x =1就是函数的第二类间断点、又因为0)1ln(lim )(lim 00=+=--→→x x f x x , ee xf x x x 1lim )(lim 110==-→→++,所以x =0也就是函数的间断点, 且为第一类间断点、11、 证明()11 2111lim222=++⋅⋅⋅++++∞→n n n n n 、证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim2=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→nn n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n 、 12、 证明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2(ππ-内至少有一个根、证明 设f (x )=sin x +x +1, 则函数f (x )在]2,2 [ππ-上连续、因为2121)2 (πππ-=+--=-f , 22121)2 (πππ+=++=f , 0)2()2 (<⋅-ππf f , 所以由零点定理, 在区间)2,2 (ππ-内至少存在一点ξ, 使f (ξ)=0、这说明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2 (ππ-内至少有一个根、13、 如果存在直线L : y =kx +b , 使得当x →∞(或x →+∞, x →-∞)时, 曲线y =f (x )上的动点M (x , y )到直线L 的距离d (M , L )→0, 则称L 为曲线y =f (x )的渐近线、 当直线L 的斜率k ≠0时, 称L 为斜渐近线、 (1)证明: 直线L : y =kx +b 为曲线y =f (x )的渐近线的充分必要条件就是xx f k x x x )(lim),( -∞→+∞→∞→=, ])([lim),( kx x f b x x x -=-∞→+∞→∞→、(2)求曲线x e x y 1)12(-=的斜渐近线、证明 (1) 仅就x →∞的情况进行证明.按渐近线的定义, y =kx +b 就是曲线y =f (x )的渐近线的充要条件就是0)]()([lim =+-∞→b kx x f x .必要性: 设y =kx +b 就是曲线y =f (x )的渐近线, 则0)]()([lim =+-∞→b kx x f x ,于就是有 0])([lim =--∞→xb k x x f x x ⇒0)(lim =-∞→k x x f x ⇒x x f k x )(lim∞→=, 同时有0])([lim =--∞→b kx x f x ⇒])([lim kx x f b x -=∞→.充分性: 如果xx f k x )(lim ∞→=, ])([lim kx x f b x -=∞→, 则0])([lim ])([lim )]()([lim =-=--=--=+-∞→∞→∞→b b b kx x f b kx x f b kx x f x x x ,因此y =kx +b 就是曲线y =f (x )的渐近线.(2)因为212lim lim 1=⋅-==∞→∞→x x x e x x x y k , 11)1ln(lim21)1(lim2]2)12[(lim ]2[lim 011=-+=--=--=-=→∞→∞→∞→t t e x x e x x y b t xx xx x ,所以曲线x e x y 1)12(-=的斜渐近线为y =2x +1.总 习 题 二1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x )在点x 0可导就是f (x )在点x 0连续的____________条件、 f (x )在点x 0连续就是f (x )在点x 0可导的____________条件、(2) f (x )在点x 0的左导数f -'(x 0)及右导数f +'(x 0)都存在且相等就是f (x )在点x 0可导的_______条件、 (3) f (x )在点x 0可导就是f (x )在点x 0可微的____________条件、 解 (1)充分, 必要、 (2) 充分必要、 (3) 充分必要、2、 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f (x )在x =a 的某个邻域内有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件就是( )、(A ))]()1([lim a f ha f h h -++∞→存在; (B )h h a f h a f h )()2(lim0+-+→存在; (C )h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→存在; (D )hh a f a f h )()(lim 0--→存在、解 正确结论就是D 、 提示:xa f x a f h a f h a f h h a f a f x h h ∆-∆+=---=--→∆→→)()(lim)()(lim )()(lim000(∆x =-h )、3、 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x 为, 于就是分布在区间[0, x ]上细棒的质量m 就是x 的函数m =m (x ),应怎样确定细棒在点x 0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？ 解 ∆m =m (x 0+∆x )-m (x 0)、 在区间[x 0, x 0+∆x ]上的平均线密度为xx m x x m xm ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ、于就是, 在点x 0处的线密度为)()()(lim lim 0000x m xx m x x m xm x x '=∆-∆+=∆∆=→∆→∆ρ、4、 根据导数的定义, 求xx f 1)(=的导数、 解20001)(1lim)(lim 11lim x x x x x x x x x x x x x y x x x -=∆+-=∆+∆∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆、5、 求下列函数f (x )的f -'(0)及f +'(0),又f '(0)就是否存在? (1)⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0 sin )(x x x x x f ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 00 1)(1x x e x x f x、 解 (1)因为10sin lim 0)0()(lim )0(00=-=--='--→→-xx x f x f f x x ,1ln )1ln(lim 0)1ln(lim 0)0()(lim )0(1000==+=-+=--='+++→→→+e x xx x f x f f x x x x ,而且f -'(0) = f +'(0), 所以f '(0)存在, 且f '(0)=1、(2)因为111lim 01lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='---→→→-xx xx x e x e x x f x f f ,011lim 001lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='+++→→→+xx xx x e x e x x f x f f ,而f -'(0)≠ f +'(0), 所以f '(0)不存在、 6、 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性、 解 因为f (0)=0,)0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不可导、 7、 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(sin x );(2)x x y -+=11arctan ;(3)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; (4))1ln(2x x e e y ++=;(5)x x y =(x >0) 、解(1)|cos |cos cos sin 11)(sin sin 1122x x x xx x y =⋅-='⋅-='、(2)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='、 (3))(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅、(4)xxx x xx x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='、(5)x x y ln 1ln =, x x x xy y 11ln 112⋅+-=', )ln 1()1ln 1(222x x x x x x x y xx-=+-='、 8、 求下列函数的二阶导数: (1)y =cos 2x ⋅ln x ;(2)21x x y -=、解 (1)x x x x x x x x x y 1cos ln 2sin 1cos ln sin cos 222⋅+⋅-=⋅+⋅-=',221cos 1sin cos 212sin ln 2cos 2x x x x x x x x x y ⋅-⋅-⋅-⋅-=''22cos 2sin 2ln 2cos 2x x x x x x --⋅-=、(2)232222)1(111--=---⋅--='x xx xx x y52252)1(3)2()1(23x x x x y -=-⋅--=''-、9、 求下列函数的n 阶导数: (1)m x y +=1;(2)xx y +-=11、 解 (1)m mx x y 1)1(1+=+=,11)1(1-+='m x m y , 21)1)(11(1-+-=''m x m m y , 31)1)(21)(11(1-+--='''m x m m m y , ⋅ ⋅ ⋅,nm n x n mm m m y-++-⋅⋅⋅--=1)()1)(11( )21)(11(1、 (2)1)1(2111-++-=+-=x xx y , y '=2(-1)(1+x )-2, y ''=2(-1)(-2)(1+x )-3, y '''=2(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, ⋅ ⋅ ⋅,1)1()()1(!)1(2)1)(( )3)(2)(1(2++-+-=+-⋅⋅⋅---=n n n n x n x n y、 10、 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0)、 解 方程两边求导得e y y '+y +xy '=0, —— (1) 于就是ye x y y +-=';2)()1()()(y y y y e x y e y e x y e x y y +'+-+'-='+-=''、 ——(2)当x =0时, 由原方程得y (0)=1, 由(1)式得e y 1)0(-=', 由(2)式得21)0(e y =''、 11、 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx yd :(1)⎩⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ;(2)⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2、解 (1)θθθθθθθtan )sin (cos 3cos sin 3)cos ()sin (2233-=-=''=a a a a dx dy ,θθθθθθθcsc sec 31sin cos 3sec )cos ()tan (422322⋅=--=''-=aa a dx y d 、(2)t t t t t t dx dy 1111]1[ln )(arctan 222=++='+'=,3222222111]1[ln )1(t t t t t t t dx y d +-=+-='+'=、 12、 求曲线⎩⎨⎧==-t te y e x 2在t =0相的点处的切线方程及法线方程、解t t tt t ee e e e dx dy 2212)2()(-=-=''=--、当t =0时,21-=dx dy , x =2, y =1、 所求切线的方程为)2(211--=-x y , 即x +2y -4=0; 所求法线的方程为y -1=2(x -2)、13、 甲船以6km/h 的速率向东行驶, 乙船以8km/h 的速率向南行驶, 在中午十二点正, 乙船位于甲船之北16km 处、 问下午一点正两船相离的速率为多少?解 设从中午十二点开始, 经过t 小时, 两船之间的距离为S , 则有 S 2=(16-8t )2+(6t )2,t t dtdS S 72)816(162+--=,St t dt dS 272)816(16+--=、当t =1时, S =10,8.220721281-=+-==t dt dS (km/h), 即下午一点正两船相离的速度为-2、8km/h 、 14、 利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值、解 设3)(x x f =, 则有x x f f x f ∆=∆'≈-∆+31)1()1()1(, 或x x f ∆+≈∆+311)1(于就是007.102.031102.0102.133=⋅+=+=、15、 已知单摆的振动周期gl T π2=, 其中g =980 cm/s 2, l 为摆长(单位为cm)、 设原摆长为20cm ,为使周期T 增大0、05s , 摆长约需加长多少？ 解 因为L gLdT T ∆⋅=≈∆π,所以23.205.020=≈∆=L gLL π(cm),即摆长约需加长2、23cm 、 总习题三 1、 填空:设常数k >0, 函数k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________、 解 应填写2、 提示: e x x f 11)(-=', 21)(xx f -=''、在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e 、 因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内就是凸的, 且驻点x =e 一定就是最大值点, 最大值为f (e )=k >0、又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2、2、 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( )、 (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0)、 解 选择B 、提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0)、 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0)、3、 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )、 解 取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1]、易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导、注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 就是不可能的、 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))、 4、 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→、解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间、 当x →∞ 时, ξ → ∞, 于就是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ、5、 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点、证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少、 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点、6、 设1210++⋅⋅⋅++n a a a n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点、 证明 设121012)(+++++=n n x n a x a x a x F Λ, 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0、 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0、 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点、7、 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0、证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0、 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0、 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0、8、 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-、证明 对于f (x )与ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln)()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b )、 9、 设f (x )、g (x )都就是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a )、 证明 由条件|f '(x )|<g '(x )得知, 1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )就是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a )、因为f (x )、g (x )都就是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--、 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a )、10、 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→、(4)nx xn xx x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x (ln x +1)=x x (ln x +1)、xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111 21)1)(ln 11(ln 1lim11=--+++-=+→xx x x x x x x 、 (2)xxx xx x x x x x x x x x x x x x ++++-='+'+-=++-=-+→→→→1)1ln(111lim])1ln([])1ln([lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[lim 00002111)1ln(1lim )1ln()1(lim00=+++=+++=→→x x x x x x x(3))2ln arctan (ln lim )arctan 2(lim ππ++∞→+∞→=x x x xx ex ,因为)2lnarctan (ln lim π++∞→x x x ππ2111arctan 1lim )1()2ln arctan (ln lim22-=-+⋅=''+=+∞→+∞→xx x xx x x , 所以πππ2)2ln arctan (ln lim )arctan 2(lim -++∞→+∞→==eex x x x x x 、(4)令nxxn xxn a a a y ]/) [(11211+⋅⋅⋅++=、 则]ln ) [ln(ln11211n a a a nx y xn xx-+⋅⋅⋅++=, 因为xn a a a n y xn xx x x 1]ln ) [ln(limln lim 11211-+⋅⋅⋅++=∞→∞→)1()1()ln ln ln ( 1lim121211111211''⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅=∞→xxa a a a a a a a a n n xn xxxn x x x=ln a 1+ln a 2+⋅ ⋅ ⋅+ln a n =ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n )、 即y x ln lim ∞→=ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ), 从而n x nx xn xx x a a a y n a a a lim ]/) [(lim 2111211⋅⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅++∞→∞→.11、 证明下列不等式: (1)当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >; (2):当x >0时, xxx +>+1arctan )1ln(、证明 (1)令x x x f tan )(=, )2,0(π∈x 、 因为0tan tan sec )(222>->-='xxx x x x x x f , 所以在)2,0(π内f (x )为单调增加的、 因此当2021π<<<x x 时有]2211tan tan x x x x <, 即1212tan tan x x x x >、(2)要证(1+x )ln(1+x )>arctan x , 即证(1+x )ln(1+x )- arctan x >0、 设f (x )=(1+x )ln(1+x )- arctan x , 则f (x )在[0, +∞)上连续,211)1ln()(x x x f +-+='、因为当x >0时, ln(1+x )>0, 01112>+-x, 所以f '(x )>0, f (x )在[0, +∞)上单调增加、因此, 当x >0时, f (x )>f (0), 而f (0)=0, 从而f (x )>0, 即(1+x )ln(1+x )-arctan x >0 、12、 设⎩⎨⎧≤+>=0 20)(2x x x x x f x , 求f (x )的极值、解 x =0就是函数的间断点、当x <0时, f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=2x 2x (ln x +1)、 令f '(x )=0, 得函数的驻点ex 1=、 列表:函数的极大值为f (0)=2, 极小值为e e ef 2)1(-=、13、 求椭圆x 2-xy +y 2=3上纵坐标最大与最小的点、 解 2x -y -xy '+2yy '=0, y x y x y 22--='、 当y x 21=时, y '=0、将y x 21=代入椭圆方程, 得32141222=+-y y y , y =±2 、 于就是得驻点x =-1, x =1、 因为椭圆上纵坐标最大与最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又当x =-1时, y =-2, 当x =1时, y =2, 所以纵坐标最大与最小的点分别为(1, 2)与(-1, -2)、 14、 求数列}{n n 的最大项、解 令xx x x x f1)(==(x >0), 则x xx f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅, )ln 1()(21x x x fx -='-、令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e 、因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点、 因此所求最大项为333}3 ,2max{=、15、 曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径、 解 y '=cos x , y ''=-sin x ,xx y y sin )cos 1(||)1(2/322/32+='''+=ρ(0<x <π),xxx x x x x 2232212sin cos )cos 1(sin )sin cos 2()cos 1(23+-⋅-+='ρxx x x x 222212sin )1cos sin 3(cos )cos1(+++-=、在(0, π)内, 令ρ'=0, 得驻点2π=x 、因为当20π<<x 时, ρ'<0; 当ππ<<x 2时, ρ'>0, 所以2π=x 就是ρ的极小值点, 同时也就是ρ的最小值点, 最小值为12sin)2cos 1(2/32=+ππρ、16、 证明方程x 3-5x -2=0只有一个正根、 并求此正根的近似值, 使精确到本世纪末10-3. 解 设f (x )=x 3-5x -2, 则 f '(x )=3x 2-5, f ''(x )=6x 、当x >0时, f ''(x )>0, 所以在(0, +∞)内曲线就是凹的, 又f (0)=-2, +∞=--+∞→)2(lim 3x x x , 所以在(0, +∞)内方程x 3-5x -2=0只能有一个根、 (求根的近似值略)17、 设f ''(x 0)存在, 证明)()(2)()(lim 020000x f hx f h x f h x f h ''=--++→、证明 hh x f h x f h x f h x f h x f h h 2)()(lim)(2)()(lim00020000-'-+'=--++→→hh x f h x f h )()(lim 21000-'-+'=→hh x f x f x f h x f h )]()([)]()([lim 2100000-'-+'-+'=→)()]()([21])()()()([lim 2100000000x f x f x f h h x f x f h x f h x f h ''=''+''=-'-+'-+'=→、 18、 设f (n )(x 0)存在, 且f (x 0)=f '(x 0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n )(x 0)=0, 证明f (x )=o [(x -x 0)n ] (x →x 0)、 证明 因为 100)()(lim)()(lim-→→-'=-n x x nx x x x n x f x x x f20))(1()(lim-→--''=n x x x x n n x f =⋅ ⋅ ⋅)(!)(lim 0)1(0x x n x f n x x -=-→0)(!1)()(lim!10)(00)1()1(0==--=--→x fn x x x f x f n n n n x x ,所以f (x )=o [(x -x 0)n ] (x →x 0)、19. 设f (x )在(a , b )内二阶可导, 且f ''(x )≥0、 证明对于(a , b )内任意两点x 1, x 2及0≤t ≤1, 有f [(1-t )x 1+tx 2]≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2)、证明 设(1-t )x 1+tx 2=x 0、 在x =x 0点的一阶泰勒公式为 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ(其中ξ介于x 与x 0之间)、 因为f ''(x )≥0, 所以f (x )≥f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)、 因此f (x 1)≥ f (x 0)+f '(x 0)(x 1-x 0), f (x 2)≥f (x 0)+f '(x 0)(x 2-x 0)、 于就是有(1-t )f (x 1)+tf (x 2)≥(1-t )[ f (x 0)+f '(x 0)(x 1-x 0)]+t [f (x 0)+f '(x 0)(x 2-x 0)] =(1-t )f (x 0)+t f (x 0)+f '(x 0)[(1-t )x 1+t x 2]-f '(x 0)[(1-t )x 0+t x 0] =f (x 0)+f '(x 0)x 0-f '(x 0)x 0 =f (x 0),即 f (x 0)≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2),所以 f [(1-t )x 1+tx 2]≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2) (0≤t ≤1)、20、 试确定常数a 与b , 使f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小、 解 f (x )就是有任意阶导数的, 它的5阶麦克劳公式为)(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(55)5(4)4(32x o x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+=)(!516!34)1(553x o x b a x b a x b a +--+++--=、要使f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小, 就就是要使极限 ])(!516!341[lim )(lim552405xx o b a x b a x b a x x f x x +--+++--=→→存在且不为0、 为此令 ⎩⎨⎧=+=--0401b a b a ,解之得34=a , 31-=b 、 因为当34=a , 31-=b 时, 0301!516)(lim 50≠=--=→b a x x f x ,所以当34=a ,31-=b 时, f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小、 总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数): 1、⎰--x x e e dx; 解C e e de e dx e e e e dx x x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122、2、 dx x x⎰-3)1(;解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(、 3、 ⎰-dx x a x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662、 4、 ⎰++dx x x xsin cos 1;解C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1、 5、 ⎰dx x xln ln ;解C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln 、 6、 ⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ;解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin 、7、 ⎰xdx 4tan;解xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x xtan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133、8、 ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212、 9、⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656、 10、)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a axa +--=22arcsin、 11、⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22、12、 ⎰xdx x 2cos;解⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122、 13、⎰bxdx eaxcos ;解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e a b bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax axax ax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以C bx e ab bx e a b a a bxdx eaxax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e b a ax +++=)sin cos (122、14、⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e e dxx x)1111(112)1ln(11122令、 c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln 、15、⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x xdx +==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12、 16、⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dxcos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a ++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31、17、⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324C xx x x ++++-=233213)1(、18、⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2、 19、 ⎰+dx x)1ln(2;解⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2、 20、⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122、 21、 ⎰dx x arctan;解x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(、 22、dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1、 23、⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283、 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dx n a x x n a a x dx 、24、 ⎰++dx x x x 234811;解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444、 25、⎰-416x dx ;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx x x dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81 C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321、 26、dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx xx x ++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22、27、 dx x xx ⎰++cos 1sin ; 解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x xx 2cos sin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx x xxd 2tan 2tanC x x dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan 、 28、 ⎰-dx x xx x e x23sin cos sin cos ;解⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xex xsec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x xxde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x xcos sec sec sin sin sin sinC e x xex x+⋅-=sin sin sec 、 29、⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt tt t t t t x dxx x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x x C t t ++=++=66)1(ln 1ln6、30、⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t t t e e dxx x )1111(1111)1(222令C tt t ++--=1ln )1ln( C ee x xx++++-=11)1ln(、31、 ⎰+-+dx e e e e xx xx 1243; 解)()(1111222243x x x xxxx x x x xx e e d ee dx eee e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e xx+-=-)arctan(C x +=)sh 2arctan(、 32、⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xde d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x x xx de e e e x )111(1C e e e x x x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x ++-+=)1ln(1、33、 ⎰++dx x x )1(ln 22; 解dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln222222'++⋅-++=++⎰⎰⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln xd x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222、 34、⎰+dx x x2/32)1(ln ;解 因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t tx dx x 2232/321sin cos secsec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx xx xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22、。