E4
“红色”，“兰 色”
上面所列举的试验，其共同的特点是： 1、可以在相同的条件下重复进行（可重复性） 2、试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验的所有可 能的结果 （预知性） 3、一次试验之前不能确定预言中哪一个结果会出现（随机 性） 具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称为试验，记为E。 我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。 （二）随机试验E的每一个可能出现的结果叫做基本事件， 记为 或e 所有基本事件组成的集合叫样本空间，记为 S 或 e 样本点满足两点： 1 完备性：样本点是E 的所有可能结果 2 互斥性：任何两个基本事件都不会在一次试验中同时发生。
பைடு நூலகம்
序号 试验条件 观察特性 E1 将一枚硬币抛掷一 出现正面H反 次 面T的情况 E2 将一枚硬币抛掷二 同上 次 从六张卡片每张标 观察抽取卡片 有1，2，… ，6一个 上的号码数 数字（4张红色，2 张白色）任取一张 同上 观察卡片上的 颜色
可能结果 H, T
H
H T
T
H T
E3
1，2，3，4，5，6
必须经过每一步骤才能完成此事。 则完成这件事共有 n1 n2 ... nk 种不同方法 如 北京 火车3列 飞机2班 汽车4趟 济南 火车2列 飞机3班 汽车2趟 上海
北京到上海的走法共有 9 7 63 2. 加法原理 设完成某件事有k种方式： 第一种 方式有 第二种 方式有 … 第k种 方式有
实验者 德.摸根 蒲丰 试验次数 2048 4040 正面向上次数 1061 2048 正面向上频率 0.5181
0.5069
K.皮尔逊
12000
6019
0.5016
例：掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中，正面出 现频率 fn (H)的趋势，如图
1 0.5
由上面演示可看出： 在多次试验中，事件的频率总是在一个”定值“附近摆动， 而且当试验次数n越大，这个摆动的振幅越小。这个特性叫频 率的稳定性。这是大量实践中得到的随机现象的统计规律性。
我们将频率稳定于某一定数定义为A发生的概率，记P(A)。 用它表示事件A发生的可能性大小。
概率的频率定义 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n 次试验中事件 A 发生的次数。当试验次数 n 很大 时，如果频率 m/n 稳定地在某数值 p 附近摆动， 而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动 的幅度越来越小，称数值 p 为事件 A 在这一组不 变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.
E3：S {1， 2， 3， 4,5,6 }
（取到卡片上号码大于3）=C =（4，5，6）
（四）频率与概率
频率：在相同条件下，独立重复进行n次试验，在这n次试验中， 事件A发生的次数nA叫事件发生的频数，比值nA/n称为事 件A发生的频率， 记为f n(A)。
特点：（1）频率在一定程度上可以反映事件A发生的可能性大小。 （2）具有波动性的弱点。 频率具有“稳定性”的特性，即当试验次数n逐渐增大时。 频率f n(A)逐渐稳定某一 定数。
第一章
概率论的基本概念
基本事件，事件，概率的定义 随机试验E，样本空间 S { } ，
随机试验 我们把对随机现象进行一次试验或观察，统称为随机试 验，记为E。 叙述试验，我们要注意到： 1、“在一定条件下，进行一次试验”包括内容： 试验条件； 观察特性（要观察的目的） 2、结果的描述 随机试验有什么特点？下面举例看一看！
（三）一个或多个基本事件组成的集合叫随机事件。 记为A，B，C…….. 关系：
集合论 概率论 全集（集合） 样本空间S 样本点 点 （基本事件） 子集 事件A
如
E2：S { HH，HT，TH，TT }
（出现正面） A { HH，HT，TH } （第二次出现正面）
B { HH，TH }
n1种方法 n2种方法 … nk种方法 无论通过哪种方式都可以完成此事。 则完成这件事总共有n1+n2+…+nk 种方法。
P( A
k 1

k
)
则称P(A)为事件A的概率
二. 概率的计算 （一）直接计算 古典概型: 1. E的样本空间S只含有限个样本点（基本事件）记 n 2. E的每个基本事件发生的可能性相同 k P ( A) 古典概型中: n 其中n是S中 的个数 k是A中包含的 个数 （1）计算n，k要用到两个基本原理和排列、组合 1. 乘法原理 如果完成某件事需经k个步骤 第一个 步骤有 n1种方法 第二个 步骤有 n2种方法 … … 第k个 步骤有 nk种方法
引言 自然界和社会上发生的现象是各种各样的，可分为两类： • 确定性现象：在一定条件下必然发生某一结果的现象。 其特性是在相同的条件下重复进行实验或观察，它的结 果总是确定不变的。 例如：在标准大气压下，纯水加热到1000C时必然会沸 腾，半径是R时，圆面积一定是 等。 2 R • 随机现象：在相同条件下，重复进行实验或观察，它的结 果未必是相同的现象。 其特性是重复进行实验或观察，可预言该条件下实验或 观察的所有可能结果，但是在实验前或观察前无法预测出现 哪一个结果，而实验或观察后必然出现一个可能结果。 例如：掷硬币出现正面反面情况，在一定条件下，某射 手向靶射击一弹，观察中靶情况，等等。
概率的公理化定义
概率的定义：设S是试验E的样本空间，对于E的每一事件A赋予 一个实数P(A)，如果P(A)满足： 公理（1）对于任何事件A，有 0 P ( A) 1 公理（2）对于S，有P(S)=1
公理（3）对于对于两两互斥的事件A1,A2,…,Am,…
P ( Ak )
k 1
• 随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定条件下对其 进行大量重复实验或观察，它的结果会出现某种规律性，这是 随机现象所呈现的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。 这正是概率论所研究的对象。 概率论与数理统计就是研究随机现象的数量统计规律性 的数学分支。 确定性现象是用经典的数学理论方法来研究其确切的因 果关系。 概率论研究随机现象有其独特的方法，是通过对随机现 象的大量观察揭示其规律性。 同学在学习中要注意其规律和方法。