概率论第六章习题解答1、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率。
解 因为2(52,6.3)N ，所以{50.853.8}P X P <<=<<10.87.2()()6.3 6.3-=Φ-Φ(1.71)( 1.14)=Φ-Φ- 0.956410.87290.8293=-+=2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5114(12,)55ii X X N ==∑所求概率为{|12|1}1{|12|1}P X P X ->=--≤1{1121}P X =--≤-≤1X P =-≤≤1(()22=-Φ+Φ- 22(1.12)=-Φ2(10.8686)0.2628=-= （2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 123451{15,15,15,15,15}P X X X X X =-≤≤≤≤≤ 511{15}i i P X ==-≤∏511215121{}22i i X P =--=-≤∏ 51((1.5))=-Φ51(0.9332)0.2923=-=. （3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <123451{min{(,,,,)10}P X X X X X =-≥123451{10,10,10,10,10}P X X X X X =-≥≥≥≥≥511{10}i i P X ==-≥∏511(1{10})i i P X ==--<∏511210121(1{})22i i X P =--=--<∏ 511(1(1))i ==--Φ-∏511(1)i ==-Φ∏51(0.8413)1042150.5285=-=-=3、求总体(20,3)N 的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值不超过0.3的概率。
解 设容量为10的样本均值为X ，样本容量为15的样本均值为Y ， 则 3(20,)10X，3(20,)15Y ，331()(0,)(0,)10152X Y N N -+= {||0.3}1{||0.3}P X Y P X Y ->=--≤ 1{0.30.3}P X Y =--≤-≤1X Y P =-≤≤1{0.3(0.3P X Y =--≤-≤1(0.3(0.3=-Φ-Φ- 22(0.3=-Φ22(0.42)=-Φ 2(10.6628)20.33720.6744=-=⨯= 4、（1）设126,,,X X X 样本是来自总体(0,1)N ，22123456()()Y X X X X X X =+++++，试确定常数C ，使CY 服从2χ分布。
（2）设125,,,X X X 来自总体(0,1)N 样本，1212222345()()C X X Y X X X +=++，试确定常数C 使Y服从t 分布。
（3）已知()Xt n ，求2(1,)X F n解 （1）因为126,,,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，由2(,)ii i X N μσ知222121212()(,)N n n X X X N μμμσσσ+++++++++）故 123(0,3)X X X N ++，456(0,3)X X X N ++，且相互独立，因此(0,1)N(0,1)N且两者相互独立，由22212,,,n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，则统计量 2222212()nX X X n χχ=+++由2χ分布的定义知222123456()()(2)33X X X X X X χ+++++即2(2)3Y χ，所以13C =。
（2）因为设125,,,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本12(0,2)X X N +，(0,1)N ，又有 2222345(3)X X X χ++且，222345X X X ++相互独立，于是由t 分布的定义知345(3)3t =因此所求常数为C =。
（3） 因为()X t n ，故X的形式，其中(0,1)Z N ，2()Y n χ，且Z ，Y 相互独立，按F 分布的定义知2(1,)X F n 。
5、（1）已知某种能力测试的得分服从正态分布2(,)N μσ，随机地取10个人参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这10个人得分的平均值小于μ的概率。
（2）在（1）中设62μ=，225σ=，若得分超过70就能得奖，求至少有一人得奖 的概率。
解 设i X 表示参加测试的i 个人的得分（1,2,,10i =），则2(,)i X N μσ，22()2()x X f x μσ--=，0σ>，x -∞<<∞由于1210,,,X X X 相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为22()10212101(,,,)i x X i f x x x μσ--==10212()102i i x eμσ=--∑=又 101110i i X X ==∑，10101111()()()1010i i i i E X E X E X μ=====∑∑ 2101021111()()()101010i ii i D X D X D X σ=====∑∑故2(,)10XN σμ，则{}0}(0)0.5X P X P μ<=<=Φ=（2） 因为(62,25)iX N ，若一人得分超过70就能得奖，则一人得奖的概率为{70}1{70}i i P X P X >=-≤6270621{}1(1.6)10.94520.054855i X P --=-<=-Φ=-= 则10个人得奖可以看作是一个二项分布：(10,0.0548)b ，设A 表示没有人得奖，则001010()(0.0548)(0.9452)0.5692P A C =⨯=()10.56920.4308P A =-= 即至少有一得奖的概率为0.4308。
6、设总体(1,)Xb p ，12,,,n X X X 是来自总体的样本。
（1）求12(,,,)n X X X 的分布律；（2）求1nii X=∑的分布律；（3）求()E X ，()D X ，2()E S 解 （1）因为12,,,n X X X 相互独立，且有(1,)iX b p ，1,2,,i n =，即i X 具有分布律 1{}(1)i ixx i P X x p p -==-，0,1i x =，因此12(,,,)n X X X 分布律为 （各个样本的分布律的乘积）1112211{,,,}{}(1)i i n nx x n n i i i P X x X x X x P X x p p -========-∏∏11(1)nniii i x x n p p ==-∑∑=-（2）因为12,,,n X X X 相互独立，且有(1,)iX b p ，故1(,)nii X b n p =∑，其分布律为 1{}(1)nk kn k in i P Xk C p p -===-∑7、设总体2()X n χ，1210,,,X X X 是来自X 的样本，求()E X ，()D X ，2()D S 。
解 因为2()Xn χ，所以2()()i E X E n χ==，2()()2i D X D n χ== 1,2,,10i =10101111()()()1010i i i i E X E X E X n =====∑∑1010211112()()()1010105i ii i n nD XE X E X ======∑∑1010222221111()((10)(()10())99i i i i E S E X X E X E X ===-=-∑∑因为 222()()(())2i i i E X D X E X n n =+=+222()()(())5nE X D X E X n =+=+ 所以 1022211()((2)10())95i n E S n n n ==+-+∑221(10(2)10())95nn n n =+-+ 11829n n =⨯=8、总体2(,)XN μσ，1210,,,X X X 是来自X 的样本，（1）写出1210,,,X X X 的联合分布密度；（2）写出X 的概率密度。
解 （1）1210,,,X X X 联合概率密度22()1021,2101(,,)x i f x x x μσ--==10221()2251(2)i x e μσπσ=--∑=（2）因为 ()E X μ=，2()10D X σ=，所以2225()()x X f x μσ--==。
一般地 2(,)X N μσ，2()X f x =。
9、设在总体2(,)XN μσ中抽取一容量为16的样本，这里μ，2σ均为未知。
（1）求22{2.041}S P σ≤；其中2S 为样本方差。
（2）2()D S 。
解 （1）设1216,,,X X X 为总体的一个样本，则由教材P143定理二知2221(1)1S n n χσ--从而 2222{2.041}{1515 2.041}S S P P σσ≤=⨯≤⨯ （n-1＝15） 221{1530.615}S P σ=-⨯>10.010.99=-=（查表，115n -=，2(1)30.615n αχ-=，得0.01α=）（2）由于2221(1)1S n n χσ--，故22(1)()2(1)n S D n σ-=- （因为2()2D n χ=）224(1)()2(1)n D S n σ-=-即 44222(1)2()(1)1n D S n n σσ-==-- 10题和11题略去。