崇明区2017届第二次高考模拟考试试卷
数 学
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】
1.函数()212sin 2y x =-的最小正周期是____________
2.若全集U R =,集合{}{}|1|0A x x x x =≥⋃<,则U A =ð____________
3.若复数z 满足2i z i i
++=(i 为虚数单位),则z =____________ 4.设m 为常数,若点()0,5F 是双曲线22
19
y x m -=的一个焦点,则m =____________ 5.已知正四棱锥的底面边长是2
____________
6.若实数,x y 满足10304x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
,则目标函数2z x y =-的最大值为____________
7.
若1n
x ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64,则展开式中的常数项的值为____________ 8.数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S ,若122a a +=,231a a +=-,则lim n n S →∞=____________ 9.若函数()142x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称,则()3g =____________
10.甲与其四位朋友各有一辆私家车,甲的车牌尾数是0,其四位朋友的车牌尾数分别是0,2,1,5,为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案总数为_____________
11.已知函数()()22sin ,03cos ,0x x x f x x x x πα⎧⎛⎫++>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-++<⎩
,[)0,2απ∈是奇函数,则α=____________ 12.已知△ABC
是边长为PQ 为△ABC 外接圆O 的一条直径,M 为△ABC 边上的动点,则PM MQ ⋅的最大值是____________
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
【每题有且只有一个正确答案,考试应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.】
13.一组统计数据12345,,,,x x x x x 与另一组统计数据123x +,223x +,323x +,423x +,523x +相比较
( )
A. 标准差相同
B. 中位数相同
C. 平均数相同
D. 以上都不相同 14.2b <
是直线y b +与圆2240x y y +-=相交的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
15.若等比数列{}n a 的公比为q ,则关于,x y 的二元一次方程组1324
21a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是( )
A. 对任意()0q R q ∈≠,方程组都有唯一解
B. 对任意()0q R q ∈≠,方程组都无解
C. 当且仅当12q =时,方程组有无穷多解
D. 当且仅当12
q =时,方程组无解 16.设函数()x x x f x a b c =+-,其中0,0c a c b >>>>,若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长,则下列结
论中正确的个数是( )
①对于一切(),1x ∈-∞都有()0f x >;②存在0x >使,,x x x xa b c 不能构成一个三角形的三边长;③若△ABC 为钝角三角形,则存在()1,2x ∈,使()0f x =.
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 0个
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分)
在三棱锥C ABO -中,OA 、OB 、OC 所在直线两两垂直,且OA OB =,CA 与平面AOB 所成角为60︒,D 是AB 中点.
(1)求三棱锥C ABO -的高;
(2)在线段CA 上取一点E ,当E 在什么位置时,异面直线BE 与
OD 所成的角为1arccos
4
?
18.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分)
设1F 、2F 分别为椭圆C :()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点,点A 为椭圆C 的左顶点,点B 为
椭圆C 的上顶点,且AB =△ 12BF F 为直角三角形.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线2y kx =+与椭圆交于P 、Q 两点,且OP OQ ⊥,求实数k 的值.
19.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分)
某兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛,在E 处按EP 方向释放机器人甲,同时在A 处按某方向释放机器人乙,设机器人乙在Q 处
成功拦截机器人甲,若点Q 在矩形区域ABCD 内(包含边界),
则挑战成功,否则挑战失败.
已知18AB =米,E 为AB 中点,机器人乙的速度是机
器人甲的速度的2倍,比赛中两机器人均按匀速直线运动方式
行进,记EP 与EB 的夹角为θ.
(1)若60θ=︒,AD 足够长,则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功?(结果精确到0.1︒)
(2)如果设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度,才能确定无论θ的值为多少,总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲?
20.(本题满分16分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分7分)
对于函数()f x ,若在定义域内存在实数0x ,满足()()00f x f x -=-,则称()f x 为“M 类函数”.
(1)已知函数()sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
,试判断()f x 是否为“M 类函数”?并说明理由; (2)设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”,求实数m 的最小值;
(3)若()()22log 2,23,2
x mx x f x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”,求实数m 的取值范围.
21.(本题满分18分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分)
已知数列{}n a 满足11a =,10n n n a a +-=,*
n N ∈. (1)若1p =,写出4a 所有可能的值;
(2)若数列{}n a 是递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求p 的值;
(3)若12
p =
,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.
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参考答案
1. 2π
2. [0,1)
3.
4. 16
5. 43
6. 2
7. 15
8. 83 9. 0 10. 64 11. 76π 12. 3 13. D
14. A 15. C 16. A
17. (1)OC =(2)1arccos
4
18. (1)2
212
x y +=
(2)k =
19. (1)应在矩形区域ABCD 内,按照与夹角为25.7°的向量方向释放机器人乙,才能挑战成功
(2)当6AD ≥米时,能确保无论θ的值为多少,总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲
20. (1)是“M 类函数”
(2)当12t =或2t =时,m 取最小值54
- (3)[1,1)-
21. (1)4a 有可能的值为2,0,2,4-
(2)13
p = (3)141(1)332
n
n n a --=+⋅。