数学建模习题答案数学建模部分课后习题解答中国地质大学能源学院华文静1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？解：模型假设（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。

这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。

因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。

生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。

于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。

把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。

为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位在地面上所处的位置不变，由此可知，f （π）＝g （0），g （π）＝f （0）.而由f （0）＞0，g （0）＝0，得g （π）＞0，f （π）＝0。

令h （θ）＝f(θ)－g （θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。

又0)()()(,0)0()0()0(<-=>-=πππg f h g f h ，根据连续函数介值定理，必存在），，0（0πθ∈使得)()(即,0)(000θθθg f h ==； 又因为0)()(所以,0)()(0000===•θθθθg f g f 。

于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。

模型讨论 用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。

问人、狗、鸡、米怎样过河？ 模型假设人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

符号说明1X ：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0; 2X ：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； 3X ：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； 4X ：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:； ),,,(4321X X X X S k =:状态向量，代表时刻K 左岸的状态； ),,,(4321X X X X D k =:决策向量，代表时刻K 船上的状态；模型建立限制条件：⎩⎨⎧≠+≠+⇒=22043321X X X X X初始状态：)0，0，0，0(),1，1，1，1(00==D S模型求解根据乘法原理，四维向量）,,,（4321X X X X 共有1624=种情况根据限制条件可以排除）1,1,0,0）（1，0,1，0）（1,1,1,0（三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知可行决策集仅有五个元素{})0，0,，0，0(),0，0，0，1(),1，0，0，1(),0，1，0，1(),0，1，1，1(=D ,状态集有8个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）； 方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)； 目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由）0,0,0,0（）1,1,1,1（→表一： 时刻 左岸状态K S 船上KD K=0K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 (1，1，1，1) (0，1，1，1） （1，1，0，1） （0，1，0，(0，0，0，0) (1，0，1，0)(1，0，0，0)(1，0，0，1)(1，0，1，0)(1，1，0，0)K=6 K=70）（1，1，1，0）（0，0，1，0）（1，0，1，0）（0，0，0，0）(1，0，0，0)(1，0，1，0)表二：时刻左岸状态KS船上K DK=0 K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 K=7 (1，1，1，1)(0，1，0，1)(1，1，0，1)(0，0，0，1)(1，0，1，1)(0，0，1，(0，0，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，0)(1，1，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，1)(1，0，0，0)(1，0，1，0)0)(1，0，1，0)(0，0，0，0)3. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.（2）2.1节中的Q值方法.（3）d’Hondt方法：将各宿舍的人数用正整数,2,1 n ,3相除，其商数如下表：1 2 34 5 …A B C 235 117.5 78.3 58.75 …333 166.5 111 83.25 …432 216 144108 86.4将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A ，B ，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.解：先考虑N=10的分配方案，∑=====313211000,432,333,235i i p p p p方法一（按比例分配）4,33.3,35.2332211======N p q N p q N p q分配结果为：4,3,3321===n n n方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4,3,3321===n n n 第10个席位：计算Q 值为92407543333，920417322352221=⨯==⨯=Q Q 933125443223=⨯=QQ3最大，第10个席位应给 C.分配结果为5,3,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）原理：记pi 和ni 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）,ii n p是每席位代表的人数，取in =3,2,1…，从而得到的iin p 中选较大者，可使对所有的i ，ii n p 尽量接近。

所以此方法的分配结果为：5,3,2321===n n n再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果。

现将3中方法两次分配额结果列表如下：宿舍 （1） （2） （3）（1） （2）（3） A B C3 2 23 3 345 5 4 435 556 67总计10 10 15 1510 154. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长（cm）36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量（g） 756 482 1162 737 482 1389 652 454胸围（cm）24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用机理分析，再用数据确定参数。

模型分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。

所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。

模型假设（1） 设鱼的重量为ω； （2） 鱼的身长记为l ； 模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量ω与身长l 的立方成正比，为这两者之间的比例系数。

即131,k k νω=为比例系数。

不过常钓得较肥的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是222,k l d k =ω为比例系数。

利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：,0322.0,0146.021==k k 将实际数据与模型结果比较如下表： 实际重量（g ） 765 482 1162 737 4821389 652 454模型31νωk =727 469 1226 727 4831339 675 483模型l d k 22=ω730 465 1100 730 4831471 607 483通过机理分析，基本上满意5.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

动物体重（g）心率（次/分）田鼠家属兔小狗大狗羊人马25 670 200 420 2000 205 5000 120 30000 85 50000 70 70000 72 450000 38解：动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失，记动物体重为ω，则PSPαω,3/2-∝∝正比于血流量Q,而qrQ=，其中q是动物每次心跳泵出的血流量，r为心率。

合理地假设q与ω成正比，于是rqω∝，综上可得3/13/1或,-=∝ωωk r r 。

由所给数据估计得310897.20⨯=k，将实际数据与模型结果比较如下表：动物 实际心率（次/分） 模型结果（次/分）田鼠 家属 兔 小狗 大狗 羊 人 马670 715420 375205 166120 12285 6770 5772 5138 276. 速度为v 的风吹在迎风面积s 为的风车上，空气密度是ρ。