直线与圆锥曲线题型总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-直线和圆锥曲线基本题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22:14x y C m+=始终有交点，则14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。
题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ①由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k << ②由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d=32AB 。
221212()()AB x x y y =-+-22141k k -=⋅+212k d k +=22223141122k k k k k-+∴+=解得3913k =±满足②式 此时053x =。
题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点并证明你的结论解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3c e a ==，2a =,则得3,1c b ==。
从而椭圆的方程为2214x y +=（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-= 12x -和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+ 则211212814k x k -=+，1121414k y k =+， 即点M 的坐标为2112211284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N的坐标为2222222824(,)1414k k k k --++12(2),(2)p p y k t y k t =+=- 12122k k k k t-∴=-+， 直线MN 的方程为：121121y y y y x x x x --=--，∴令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t=又2t >，∴402t<<椭圆的焦点为(3,0)43t∴=，即433t =故当433t =时，MN 过椭圆的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ⋅=，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与 直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。
解：(I)2BC AC=，且BC 过椭圆的中心OOC AC∴=0AC BC ⋅=2ACO π∴∠=又 A (23,0) ∴点C 的坐标为(3,3)。
A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为：222112x y b+= 将点C (3,3)代入方程，得24b =，∴椭圆E的方程为221124x y +=(II) 直线PC与直线QC关于直线x=∴设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k-，从而直线PC的方程为：( y k x -=，即)y kx k=+-，由22)3120y kx kx y⎧=+-⎪⎨+-=⎪⎩消y，整理得：222(13)(1)91830k x k x k k++-+--=3x=是方程的一个根，22918313Pk kxk--∴=+即2Px=2Qx=))P Q P Qy y kx k kx k-=-++＝()P Qk x x+-22P Qx x-=13P QPQP Qy ykx x-∴==-则直线PQ的斜率为定值13。
题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：22194x y+=于P、Q 两点，且DP DQ,求实数的取值范围。
解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),DP DQ(x 1,y1-3)=(x2,y2-3)即12123(3)x xy y方法一：方程组消元法又P、Q是椭圆29x+24y=1上的点22222222194()(33)194x yx y消去x 2，可得222222(33)14y y即y2=1356又－2y22，－213562解之得：155λ≤≤则实数的取值范围是1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由2234936y kx x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理后，得22(49)54450k x kx +++=P 、Q 是曲线M 上的两点22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+＝2144800k -≥即295k ≥ ①由韦达定理得：1212225445,4949k x x x x k k +=-=++212121221()2x x x x x x x x +=++222254(1)45(49)k k λλ+∴=+即22223694415(1)99k k k λλ+==++ ② 由①得211095k <≤，代入②，整理得236915(1)5λλ<≤+，解之得155λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15λ=。
总之实数的取值范围是1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
题型六：面积问题 例题6、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+。
由已知=，得223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
当且仅当2219k k =，即k =时等号成立。
当0k =时，AB =max 2AB =。
∴当AB最大时，AOB △面积取最大值max 1222S AB =⨯⨯=。
题型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。
（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）,可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），直线AB 的方程为y=kx+p,与x 2=2py 联立得⎩⎨⎧+==.22p kx y pyx 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2pk,x 1x 2=-2p 2. 于是21221x x p S S S ACN BCN ABN -⋅=+=∆∆∆＝21221214)(x x x x p x x p -+=- ＝.228422222+=+k p p k p p222min 0p S k ABN ==∴∆）时，（当.（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则）点的坐标为（2,2,11py x O PQ H O +'⊥'2121)(2121p y x AC P O -+==' ＝22121p y +.,221211p y a p y a H O --=+-='222HO P O PH '-'=∴=21221)2(41)(41p y a p y ---+＝),()2(1a p a y p a -+-22)2(PH PQ =∴=.)()2(42⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-a p a y p a令02=-p a ，得p PQ pa ==此时,2为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =，即抛物线的通径所在的直线. 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +⋅+=-+⋅+=-+=＝.21222+⋅+k k p又由点到直线的距离公式得212kp d +=.从而，,2212212212122222+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=∆k p k p k k p AB d S ABN .22max 02p S k ABN ==∴∆）时，（当（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得).(1)2(4))((4,0))((121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---∆=----＝则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有.)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-=令p PQ pa p a ===-此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =.即抛物线的通径所在的直线。