选 法
1）坐标变换法
反 函 数 法
设r1，r2 是RND随机数，令
坐中 标心 变极 换限 法定
理

x1 x2

(2 ln (2 ln
r1 )1 / r1 )1 /
2 2
cos(2r2 sin(2r2
) )
则 x1, x2是相互独立的标准正态分布的随机数.
2）利用中心极限定理
例3 ：选λ=97，C=3，M=1000，得递推公式
xn1 97xn 3(mod1000) rn xn 1000
取定种子x0=71，得 97x0＋3=6890， x1=890， r1=0.890 97x1＋3=86333， x2=333， r2=0.333
97x2＋3=32304， x3=304， r3=0.304
最常用、最基础的随 机数是在（0,1）区间 内均匀分布的随机数 (简记为RND)
理解为：随机 变量X～U(0,1) 的一组样本值
的模拟值
一般采用某种数值计算方法产生随机数序列， 在计算机上运算来得到.
通常是利用递推公式：
n f (n1,n2 , ,nk )
给定k个初始值ξ1,ξ2,…,ξk , 利用递推公式递推出一
2,
0 ri 0.3 0.3 ri 0.6
0.6 ri
x1，x2，…，xN 即具有X 的分布律的随机数.
从理论上讲, 已解决了产生具有任何离散
型分布的随机数的问题.
具体执行仍有困难,如X的取值是无穷多个的 情况.
可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法.
例4 随机变量X～B(n,p)，其分布律为
反函数法 舍选法
1) 反函数法 设连续型随机变量Y的概率函数为 f(x), 需产
生给定分布的随机数.
算法:1）产生n个RND 随机数r1，r2，…，rn；
2) 从等式ri
yi
f
( y)dy 中解出yi ;
所得yi, i=1,2, …,n 即所求.
基本原理： 设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函
数，而且随机变量X～U(0,1)，令Z=F－ 1(X)。
则Z与Y有相同分布.
例5 模拟服从参数为λ的指数分布的随机数，其
概率密度函数为
f ( x) 0,ex ,
x 0, x 0.
代入公式
ri
yi f ( y)dy

有
ri
yi exdx 1 eyi
在计算机上编程产生随机数还应注意 浮点运算对周期的影响
2. 对数列进行统计检验
无论用哪一种方法产生的随机数序列 (实数 列) RND, 都存在问题：
能否将其看着是在(0,1)上均匀分布的连续 型随机变量X 的独立样本值？
对应的样本是否可以看成X的简单随机样本： 1）X1，X2，…，Xn相互独立；
2）Xi ～U(0, 1) , (i=1, 2，…，n)
(3) 若 r2≤λf(y)，则令x=y, 否则剔除 r1和r2, 重返步骤(2).
重复循环, 产生的随机数x1，x2，…，xN的 分布由概率函数 f(x) 确定.
舍选法算法原理分析： 设P{a＜Z＜b}=1，Z的概率密度为f(z),
1. 选常数λ，使λf(z)≤1，z∈(a，b)； 2. 随机变量X1，X2相互独立Xi～U(0, 1),令
0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0， 0，1，1，0，1，0, …
可看成总体X 的一系列样本值,或称产生了 一系列具有两点分布的随机数.
数学软件有产生常用分布随机数的功能
对特殊分布
需要数据 量很大时
不太有效
需要寻求一种简便、经济、可靠, 并能在计 算机上实现的产生随机数的方法.
二.均匀分布随机数的产生
ri≤ p的个数ni. .
p 0
1
重复循环得到: n1，n2，…，nk即所求随机数列.
练习题： (1)生成100个服从B(20,0.3)的随机数 (2) 如何模拟参数为λ的泊松分布随机数？
2．连续型随机数的模拟 利用在(0 , 1) 区间上均匀分布的随机数来模
拟具有给定分布的连续型随机数.
两种方法
产生X的随机数的算法步骤 ： (1) 产生一个(0, 1)区间上均匀分布随机数r(RND);
(2) 若 P(n－1)＜r≤P(n) ，则令X 取值为xn. 例3 离散型随机变量X的分布律如下

X=x 0 1
2
P(x) 0.3 0.3 0.4
设r1，r2，…，rN是RND随机数，令
0, xi 1,
Y1=a+(b－a)X1～U(a, b);
3. 若X2≤λf(Y1)，则令 X = Y1，否则剔除X1， X2重复到(2)。
则随机变量X的分布与Z相同。
注 若不满足条件： ab f ( x)dx 1,
可选取有限区间(a1, b1)，使得
ab11 f (x)dx 1
ε是很小的正数.
2）舍选法 基本思想：实质上是从许多RND随机数中选 出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，存在 实数 a<b，使 P{a<X<b}=1，
算法步骤：
(1) 选取常数λ，使λf(x)＜1，x∈(a, b)； (2) 产生两个RND 随机数r1 、r2，令
y= a＋(b－a)ri ；
不能简单 等同于真 正意义的 随机数.
1. 选择模拟参数 1） 周期的长度取决于参数x0, 入, M的选择； 2） 通过适当选取参数可以改善随机数的统计 性质. 几组供参考的参数值： x。=1，λ=7，M=1010 （L=5×107）
x。=1，λ=513，M=236 （L=234≈2×1010）
x。=1，λ=517，M=212 （L=240≈1012）
P{X k} Cnk pk (1 p)nk , (k 1,2, , n) 0 p1
随机变量X是 n 次独立贝努里试验中, 事件A 发生的总次数, 其中p=P(A).
在计算机上模拟 n 重贝 努里试验来产生二项分布 的随机数.
当p 较大而 计算精度要 求较高时
算法步骤：
1）产生n个RND r1，r2，…，rn； 2）统计ri （i=1，2，…，n）中使得
λx3=7×343=2401 , x4=401 , r4=401/1000=0.401 λx4=7×401=2807, x5=807 , r5=807/1000=0.807 其余类推.
2．混合同余法 递推公式为
rxnn1xn
xn
M

C(mod
M
)
其中，C是非负整数.
用模 M 去除 λxn+C的余数
系列随机数ξ1,ξ2,…，ξn,…
常
乘同余法
用
方 法
混合同余法
具有较好的 统计性质
1．乘同余法 递推公式为
xn1 xn(modM )
rn xn M
用M 除λxn后 得到的余数记 为xn+1
其中λ是乘因子, M为模数(modulus),第一式是以 M为模数的同余式.
给定初值x0 (称为种子),递推计算出
r1，r2，…， 即在(0, 1)上均匀分布的随机数序列.
例2 取x0=1，λ=7，M=103，有 λx0=7×1=7 ， x1=7 ， r1=7/1000=0.007 λx1=7×7=49 ， x2=49 ， r2=49/1000=0.049 λx2=7×49=343 ， x3=343 ，r3=343/1000=0.343
0
可得
yi

1

ln(1 ri )
若随机变量) X～U(0, 1)
1－X ～U(0, 1)
(1－ri)与ri 均为RND 随机数
模拟公式可改写为
yi

1

ln ri
练习：生成100服从参数为10的指数分布的随机 数。
问题：请考虑如何利用此公式模拟泊松流？
优点：一种普通而适用的方法；
缺点:当反函数不存在或难以求出时, 不宜于使 用.
有下述问题： 1.数列{rn}是有周期的，周期L≤M（模数）； 因0≤xn≤M，数列{xn}最多有 M个相异值, 从而{rn}也同样如此.
2. 数列{rn}本质上是实数列, 给定初始值由递推 公式计算出的一串确定的数列.
从计算机中直接调用 某种分布的随机数同样存 在类似问题.
解决方法与思路： 1. 选择模拟参数 2. 对数列进行统计检验
例如取 a1=μ－3σ,b1=μ＋3σ，有
b1
1

e
(
x )2 22
dx

1

0.003
a1 2
在区间(a1, b1)上应用舍选法,不会出现较大 的系统误差.
练习：用舍选取法生成100个服从以期望μ=20， 标准差σ=10的正态分布的随机数。
3．正态随机数的模拟
产生正态分布 舍
随机数的方法
97x3＋3=29491， x4=491， r4=0.491
97x4＋3=47830， x5=630， r5=0.630 余类推，接下来的随机数是：
0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424， 0.131，0.710，0.873，0.684，0.351，0.050， 0.853…
需判断是否具有较好的统计性质：
独立性 均匀性
进行统计检验
三. 任意分布随机数的模拟
l．离散型随机数的模拟
设随机变量X 的分布律为
P{ X xi } pi ,
n
令 P(0) 0, P(n) pi , i 1
将{P( n)}作为区间(0, 1)的分点: