绝对值函数图象的速画法
高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。

但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画
出图象。

下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。

一、用“三点定形法”画单绝对值函数 f ( x) a x h k(a0) 的图象
f ( x) a x h k( a 0) 与g( x)a(x h) 2k (a0) 的图象类似，它们的顶点都
是（ h, k ），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。

所不同的是前者的图象是折线，
在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。

所以可用三点定其型。

三点中，顶点（h, k ）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，
过另一点作出射线，即得 f ( x) a x h k(a 0) 的图象。

例：已知函数 f ( x) a x b 2在 0, 上单调递增，则 a、b 的取值范围是。

分析：当 a=0 时，f ( x) 2 为常数函数，不具单调性；
当 a 0 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若 a 0，图象开口向下(见图1)，总不满足
条件；若 a 0 ，图象开口向上，当 b 0 时，函数 f ( x)在0, 不单调 (见图 2)；当b 0 ，函数 f (x) 在 0, 单调 (见图 3)。

所以 a、 b 的范围应是a 0, b 0.
4
4
4
2
A
2
2 A
B
B
5 10 15 20
10
图 1 5 10 5
图 2 15 20
图 3 B
A
-2
-2
-2
-4
-4
-4
二、用“三点定形法”作双绝对值和式函数 f (x) x a x
-6
-6
-6
-8
-8
-8
a = -1.
b (a b = b0.)9的图象
r x =x-b +2
s x =
a = 2.2
b = 0.9
r x =x
s x =
-10
-10
-10
2 x (a b)
(x a)
因为 f ( x)
x a x b b a
(a
x b) ，可见其图象是由一条水
2x (a b)
( x b)
平线段左端加一条向左上方延伸的射线
(因其斜率为负 )，右端加一条向右上方延伸的射线
(因
其斜率为正 )组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。

又联立以上分段函数
y 2 x (a b)
a b
x 2
x 轴上
两侧解析式 2x
(a b) 解得， ，可知左右两侧射线延长线必交于 y y 0
的 点
(
a b
,0)。

据 此 ， 可 以 三 点 (a, f (a)), (b, f (b)), (
a b
,0)
确定函数
2
2
f ( x) x a x b (a b) 的图形，称为“三点定形法” 。

例：作函数 f ( x)
x 1
x 3 的图象
解：先确定此函数的两个绝对值代数式的零点为：－
1 和 3。

因为
4
B
1 3
A
f ( 1) 4, f (3) 4,
1，所以在平面直角坐标系中先作出
A(－
2
2
1,4)、B(3,4)、C(1,0)三点；连接线段 AB ，再作射线 CA ，CB ；注意作图时
C
5
线段 CA 、CB 部分可以不画出，也可以作作成虚线
(如图 4)。

图 4
-2
以上方法仅适用于绝对值中自变量
x 的系数为 1 时的快速作图。

-4
三、用“两点定形法”作双绝对值差式函数
f (x)
x a
x b 的图象
-6
a b
( x a)
当 a<b 时， f (x)
x
a
x b
2x
a b (a x
-8
b) ，可见其图象是由两
b a
( x
b)
-10
端为两条平行的射线，
中间为连接两射线的端点构成的图形， 而图
象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。

当
a>b 时同理。

据此，
2
可以点 ( a, f (a)), (b, f (b)) 确定函数
f ( x) x a x b 的图
象。

-2
例：作函数
f ( x) x 3 x 1
-4
A
5
10
图 5
B
解：先确定两个绝对值代数式的零点为：
1 和 3。

因为 f (1) 2, f (3)
2 ，所以在坐
-6
-8
-10
标平面内先作点A(1,2), B(3,－ 2)，连接线段AB，再过 A 作向左延伸的水平射线，过 B 作向右延伸的水平射线即可(见图 5)。

以上方法仅适用于绝对值中自变量x 的系数为 1 时的快速作图。

四、用“多点定形法”作多绝对值函数
f ( x) m1 x a1 m2 x a2 m i x a i ( a1 a2 a i ) 的图象
( m1 m2 m i )x (m1a1 m2 a2 m i a i ) (x a1 )
( m1 m2 m i )x ( m1 a1 m2 a2 m i a i ) ( a1 x a2 ) 因为 f ( x)
( m1 m2 m i ) x ( m1a1 m2 a2 m i a i ) ( x a i ) 可知其图象是由i 个顶点A1、A2、、A i决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由i 1 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。

下面分
情况讨论两条射线的画法：
当
m1 m2当
m1 m2
y(m1 m2 y ( m1 m2
m1 a1m2a2 x
m1m2 y 0 m i 0时，则首尾两段图象斜率为0，可见其图象均为水平射线；
m i 0时，联立首尾两段的解析式有m i )x ( m1 a1 m2 a2 m i a i )
得m i ) x (m1a1 m2 a2 m i a i )
，
m i a i
m i ，可知首尾两射线必相交于 x 轴上的点 A0
（m
1
a
1 m
2 a2
m
i
a
i ,0 ），因此只需作出射线 A0 A1和 A0 A i
然后去掉线段m1 m2 m i
A0 A1和
A0 A i，就可以得到首尾两条射线。

2 B G F
当然，也可以在x a1与 x a i的范围内各取一点来作两侧
的两条射线。

例：作函数 f ( x) 2x 1 3x 4 的图象。

解： f (x) 2x 1 3x 4 2 x 1 3 x 4 ，其绝对值
2 3
C
510
-2
A图 6
-4
-6
-8
-10
代 数 式 的 零 点 为
1
和 4 ,计算 f ( 1 ) 5
, f ( 4
) 5 ，所以图象两顶点为
2 3 2
2 3 3 1 5 4 5
1 4 ，纵坐标为 0。

所以作点 C （3,0）。

A(
,
),B( ,
) ，两侧两射线交点横坐标为
2
3
2
2
3 3
3
连接线段 AB ，作射线 CA 、CB 并去除线段 CA 、 CB 即得所作图象（见图
6 ）。

也可由 f (0) 3, f (4) 1 ,作出点 D (0, 3), E(4, 1) ,作射线 AD 、BE ，而得两侧图象。

参考文献
1
周学文、南山、姜文清
. 含绝对值的函数［ J ］ .中学数学教学参考， 1995,7。