永昌县第一高级中学数学学业水平测试卷一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则AB等于（ ） A .{}1 B.{}1,0,2-C.{}1,0,1,2- D. ∅2.cos120︒的值是（ ）A . -B. 12-C. 12D. 3. 不等式2230x x --<的解集是（ ）A .()3,1- B. ()1,3- C.()(),13,-∞-+∞ D. ()(),31,-∞-+∞4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l ,则a 的值为（ ） A .8 B. 2 C.12- D. 2- 5. 函数sin 2y x =是（ ）A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==,则2a 的值为（ ） A . 2 B. 3 C. 4D.97. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩ 则2x y +的最大值为（ ）A . 1 B.53C. 2D. 38. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为（ ）A .B.C.D.9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±,则下列结论中正确的是 （ ） A .()()//-+a b a b B. ()//+a b b C. D. ()+⊥a b b10. 已知函数()1f x =, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 函数()ln21y x =-的定义域是 .12. 在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，那么n = .()()1221x f x x f x <()112x f x x f>()()-⊥+a b a b ()122x f x x>俯()()1122x f x x f x <14. 已知函数1(0xy aa -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线上, 则12m n+的最小值为 .15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝_______.三、解答题：16. （6分）编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:（1）完成如下的频率分布表: （2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率. 17．（8分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3a b A ===．（1）求sin B 的值；（2）求c 的值.18．（8分）如图2，在三棱锥P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ． （1）在线段AB 上是否存在点E , 使得//DE 平面PAC ？ 若存在, 指出点E 的位置, 并加以证明；若不存在, 请说明理由;（2）求证：PA BC ⊥. 19. （8分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12111n n T S S S =+++，求证：34n T <. 20. （10分）已知113a≤≤, 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,令()()()g a M a N a =-.（1）求()ga 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.附加题（10分）已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，MN =2. （1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0At 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求 的取值范围. 高中数学学业水平测试复习题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运11. 2⎪⎝⎭12. 13.72 14. 3+三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.()100mx ny mn +-=>121d d -15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:………4分(2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A ,{}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A , {}411,A A ,{}811,A A ,共8种. ………10分 所以()80.810P B ==. 答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为0.8.………12分16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． （1）解：∵0A π<<，1cos 3A =，∴sin A ==． ………2分 由正弦定理得：sin sin a bA B=， ………4分∴2sin 3sin 39b AB a===. ………6分 （2）解：∵13,2,cos 3a b A ===， ∴222123b c a bc +-=.………8分∴222231223c c +-=⨯， 解得3c =.………12分17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//DE 平面PAC , 点E 是线段AB 的中点. …2分 下面证明//DE 平面PAC :取线段AB 的中点E , 连接DE ， ………3分∵点D 是线段PB 的中点，∴DE 是△PAB 的中位线. ………4分 ∴//DE PA . ………6分∵PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，∴//DE 平面PAC . ………8分（2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===,∴222AB BC AC =+.∴AC BC ⊥.………10分 ∵平面PAC⊥平面ABC ，且平面PAC平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，∴BC⊥平面PAC .………12分∵PA ⊂平面PAC ， ∴PA BC ⊥.………14分18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分． （1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,∵ 1310a a +=, 424S =, ∴112210,43424.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ………2分 解得13a =,2d =.………4分∴()32121n a n n =+⨯-=+.………6分 （2）证明：由（1）得()()()1321222n n n a a n n S n n +++===+，………8分 ∴ 12111n nT S S S =+++………10分=31114212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭………12分34<. ………14分19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．(1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l的距离d ==.………2分 ∵ MN =2,∴2=.………3分 ∴2=.………4分解得r =………5分 ∴ 所求的圆C 的方程为()()22123x y -+-=.………6分(2) 解:∵圆C ：()()22123x y -+-=的圆心()1,2C ,半径r =∴1d AB====.………8分 又点(),0At 到直线l 的距离2d ==. ………9分 ∴121d d-()2121t t -+==-………10分 m =，则1t -= ………11分 ∵1t≠，∴1m >.∴121d d -21m =-121m m -=+2211m =-+. ………12分 ∵1m >, ∴12m +>.∴2011m <<+. ∴20111m <-<+. ………13分 ∴0<2211m -+< ∴121d d -的取值范围是(. ………14分20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分． (1) 解:()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.………1分 ∵113a ≤≤, ∴113a ≤≤.① 当112a ≤≤,即112a ≤≤时, 则3x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()396Ma f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴()()()g a M a N a =-=196a a+-. ………3分 ② 当123a <≤,即1132a ≤<时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()12Ma f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴()()()g a M a N a =-=12a a+-. ………5分综上，得()g a =1112,,321196, 1.2a a a a a a ⎧+-≤<⎪⎪⎨⎪+-≤≤⎪⎩………6分（2）解：任取1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，()()1212121a a a a a a --=. ………7分 ∵1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <， ∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<.∴()()12121210a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.∴()()12ga g a >.∴函数()ga 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减. ………8分 任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，()()34343491a a a a a a --=.………9分∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，∴3434340,0,910a a a a a a -<>->.∴()()343434910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.∴()()34ga g a <.∴函数()ga 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. ………10分 当12a=时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12, ………11分 又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43, ()1g =4.∴函数()ga 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………12分∵关于a 的方程()0ga t -=有解等价于()t g a =有解，∴实数t 的取值范围为函数()ga 的值域． ………13分 ∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………14分。