课 题:2.2数列的极限教学目的:1. 理解数列极限的概念;教学重点:会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点:数列极限的理解 授课类型:新授课 课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中,虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识,但是凭借他们的自身的感受,运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识,这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念,它的通俗定义是:随着项数n 的无限增大,数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n -a |无限地接近于0),它有两个方面的意义. 教学过程:一、复习引入:1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒,每天截去一半,这样的过程可以无限制地进行下去(1)可以求出第n 天剩余的木棒长度n a =12n(尺);(2)前n 天截下的木棒的总长度n b =1-12n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列,随n 变化时,n a 是否趋向于某一个常数: (1)n n a n12+=; (2)n n a )31(3-=; (3)a n =4·(-1)n -1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n 101二、讲解新课:1.数列极限的定义:一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于.....某个常数a (即n a a -无限趋近于0),那么就说数列}{n a 以a 为极限,或者说a 是数列}{n a 的极限.记作lim n n a a →∞=,读作“当n 趋向于无穷大时,n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”,即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作:当n →∞时,n a →a .理解:数列的极限的直观描述方式的定义,只是对数列变化趋势的定性说明,而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大,数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面:一方面,数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的,即随着n 的增大a n 越来越接近于a ;另一方面,a n 不是一般地趋近于a ,而是“无限”地趋近于a ,即|a n -a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限: (1)01lim=∞→n n (2)C C n =∞→lim (C 是常数) (3)无穷等比数列}{nq (1<q )的极限是0,即 )1(0lim <=∞→q q nn三、讲解范例:例1判断下列数列是否有极限,若有,写出极限;若没有,说明理由(1)1,21,31,…,n 1,… ; (2)21,32,43,…,1+n n ,…;(3)-2,-2,-2,…,-2,…;(4)-0.1,0.01,-0.001,…,n)1.0(-,…; (5)-1,1,-1,…,n)1(-,…; 解:(1)1,21,31,…,n1,… 的项随n 的增大而减小,且当n 无限增大时,n 1无限地趋近于0.因此,数列{n 1}的极限是0,即lim n →∞n1=0. (2)21,32,43,…,1+n n,…的项随n 的增大而增大,且当n 无限增大时,1+n n 无限地趋近于1.因此,数列{1+n n }的极限是1,即lim n →∞1+n n =1.(3)-2,-2,-2,…,-2,…的项随n 的增大都不变,且当n 无限增大时,无限地趋近于-2.因此,数列{-2}的极限是-2,即lim n →∞(-2)=-2.(4)-0.1,0.01,-0.001,…,n)1.0(-,…的项随n 的增大而绝对值在减小,且当n 无限增大时,n)1.0(-无限地趋近于0.因此,数列{n)1.0(-}的极限是0,即limn →∞n)1.0(-=0. (5)-1,1,-1,…,n)1(-,…的项随n 的增大而在两个值-1与1上变化,且当n 无限增大时,n )1(-不能无限地趋近于同一个定值.因此,数列{n)1(-}无极限四、课堂练习:1.下列命题正确的是( )①数列(){}31n-没有极限 ②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n21的极限为0 ③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④答案:D2. 判断下列数列是否有极限,若有,写出极限(1)1,41,91,…,21n,… ; (2)7,7,7,…,7,…; (3)ΛΛ,2)1(,,81,41,21nn---; (4)2,4,6,8,…,2n ,…; (5)0.1,0.01,0.001,…,n101,…; (6)0,,32,21--…,11-n ,…; (7),41,31,21-…,11)1(1+-+n n ,…; (8),51,59,54…,52n ,…;(9)-2, 0,-2,…,1)1(--n,…,答案:⑴0 ⑵7 ⑶0 ⑷不存在 ⑸0 ⑹-1 ⑺0 ⑻不存在 ⑼不存在.3.命题:①单调递减的无穷数列不存在极限;②常数列的极限是这个常数本身;③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0B.1C.2D.3 答案:B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n1这是无穷单调递减数列,它的极限是零;③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列,它的极限是零.因为|a n -0|=|n n 2)1(1---0|=n21可以任意小.故选B.4.下列数列,不存在极限的是…( )A.ΛΛ,)1(,,271,81,131n n ---B.ΛΛ,)1(1,,431,321,211+⋅⋅⋅n n C.-1,1,-1,1,…,(-1)n,… D.ΛΛ,1,,34,23,2nn + 答案:C.选项A 的极限是0,选项B ,a n =)1(1+n n 的极限是0,选项D 的极限a n =n n 1+=1+n1→0+1=1. 五、小结 :本节学习了数列的极限的定义,是直观定义(描述性定义),它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力 六、课后作业:七、板书设计(略)八、课后记:一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.设等比数列{q n -1}(|q |>1)的前n 项和为S n ,则∞→n lim nn S S 2+的值是A.21q B.41qC.q 2D.q 42.已知a >b >1,则∞→n lim 1111-++++-n n n n b a b a 的值是A. -abB.a1C.-bD.不存在 3.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则首项a 1的取值范围是A. (0,41)B.(0,21)C.(0,41)∪(21,41)D.(0,41)∪(21,1)4.设f (x )=(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n ,f (x )中x 2的系数为T n ,则∞→n limnn T n23+等于 A.31 B.61C.1D.25.已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠-1),其前n 项的和为S n ,若集合N={S |S =∞→n limnnS S 2},则N 等于 A.{0,1}B.{1,21 } C.{0,21} D.{0,1,21} 6. ∞→n lim )11(--+n n n 等于A.1B.0C.21 D.不存在二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 7.无穷数列{2312++k k }(k =1,2,3,……)的各项和是___________. 8.在数列{a n }中,若∞→n lim (3n -1)a n =1,则∞→n lim na n =___________.9.设数列{a n },{b n }均为等差数列,(公差都不为零),∞→n limnnb a =3,则∞→n limnna nb b b 3221⋅⋅⋅⋅++=___________.10.已知∞→n lim (112++n n -an -b )=0,则a =___________,b =___________.11.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q 且有∞→n lim (21)21=--n q q a ,则首项a 1的取值范围是___________.三、解答题(本大题共3小题,每小题9分,共27分) 12.已知f (x )=422+x (x >0),设a 1=1,且a n +12·f (a n )=2(n ∈N *),求(1)数列{a n }的通项公式;(2)∞→n lim22232244n n a n a n bb ⨯+--13.如图,在边长为l 的等边△AB C 中,圆O 1为△ABC 的内切圆,圆O 2与圆O 1外切,且与AB 、BC 相切,…,圆O n +1与圆O n 外切,且与AB 、BC 相切,如此无限继续下去,记圆O n 的面积为a n ,(n ∈N *). (Ⅰ)证明{a n }是等比数列;(Ⅱ)求∞→n lim (a 1+a 2+a 3+…+a n )的值.14.设数列{a n }满足a 1+3232a a ++…+na n =a 2n-1,{a n }的前n 项和为S n (a >0,a ≠1,n ∈N *).(1)求a n ; (2)求∞→n limna S n n)1(2-;(3)求证:(n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1<2n (n +1)a n +2参考答案:一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 二、7.21 8.31 9.92 10.1 -1 11.21<a 1≤23,且a 1≠1. 三、12.解:(1)由a n +12·f (a n )=2,得a n +12·422+n a =2 ∴a n +12-a n 2=4 ∴{a n 2}是以1为首项,4为公差的等差数列,∴a n 2=1+4(n -1)=4n -3 ∵a n >0 ∴a n =34-n(2)原式=∞→n lim 3424342324---⨯+-n n n n b 当|b |<2,即-2<b <2时,原式=-31当|b |=2,即b =±2时,原式=57 当|b |>2,即b >2或b <-2时,原式=b2综上,原式=21,(22)37,(2)5,(22)b b b b b ⎧--<<⎪⎪⎪=±⎨⎪⎪><-⎪⎩或13.解:(Ⅰ)记r n 为圆O n 的半径.r 1=21tan30°=63l ,n n n n r r r r +---11=sin30°=21∴r n =31r n -1(n ≥2) ∴a 1=πr 12=122l π91)(11==--n n n n n r r a a ∴{a n }成等比数列. (Ⅱ)∵a n =(91)n-1·a 1(n ∈N ) ∴∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )=32391121l a π=-.14.解(1) ∵a 1+na a a n +⋅⋅⋅++3232=a 2n -1 ∴a 1+132132-+⋅⋅⋅++-n a a a n =a 2(n -1)-1(n ≥2) ∴a2(n -1)-1+na n =a 2n -1 ∴a n =n (a 2n -a 2n -2)(n ≥2) ∵a 1=a 2-1 ∴当n =1时,等式亦成立. ∴a n =n (a 2n-a2n -2)n ∈N *(2)由(1)a n =n (a 2n -a 2n -2)=n (a 2-1)a 2n -2 ∴S n =(a 2-1)(1+2a 2+3a 4+…+na 2n -2)a 2S n =(a 2-1)(a 2+2n 4+…+(n -1)a 2n -2+na 2n ) a 2S n -S n =-(1+a 2+a 4+…+a 2n -2-na 2n )(a 2-1)(a 2-1)S n =-(1122--a a n -na 2n )(a 2-1) ∴S n =-)1(212--a a n +na 2n∞→n lim =-n a S n n )1(2∞→n lim n a a a na n n n)1(112222----=∞→n lim [)1(11222---a n a a n n ]=220,(1)1,(1)a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩. (3)若要证(n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1<2n (n +1)a n +2,只要证11+++n a n a n n <2·22++n a n ∵2·1212+--+++n a n a n a n n n =2×1)1)(1()1(2)1)(2(22222222+-+---+-+-+n a a n n a a n n a a n nn n=(a 2-1)·a 2n -2(2a 4-1-a 2)=(a 2-1)2·a2n -2(2a 2+1)>0∴原不等式成立.。