圆一、知识点梳理知识点1：圆的定义：1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ； 圆又是 对称图形， 是它的对称中心.知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做2. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .3. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .例1 P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．例2 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90度．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP 交AC 于点D ，若半圆弧的圆心为O ，点D 、点E 关于圆心O 对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1，S 2之间的关系是（ ）A ．S 1＜S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1=S 2D ．不确定例3 如图，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）A ．πa 2-a 2B ．2πa 2-a 2C ．21πa 2-a 2 D ．a 2-41πa 2例4 车轮半径为0.3m 的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（ ）A ．3.6π千米/时B ．1.8π千米/时C ．30千米/时D ．15千米/时例5 如图，⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .知识点4：垂径定理垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分 .例1、如图（1）和图（2），MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ，•∠APM=∠CPM ．（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例2 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ）A ．6分米B ．8分米C ．10分米D ．12分米例3 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A ．2B ．5C ．22D ．3例4如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB 的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB 的长为20米，则圆环的面积为（ ）A ．10平方米B ．10π平方米C ．100平方米D ．100π平方米例5 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm ），则该铁球的直径为（ ）A ．8.8cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm例6 如图，BE ⌒是半径为6的圆D 的41圆周，C 点是弧BE 上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ） A ．12＜P ≤18 B ．18＜P ≤24 C ．18＜P ≤18+62 D ．12＜P ≤12+62知识点5：确定圆的条件及内切圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .切线的判定与性质判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有 的直线是圆的切线。

②到圆心的距离等于 的直线是圆的切线。

③经过半径的外端点并且 于这条半径的直线是圆的切线。

切线的五个性质：①切线与圆只有 公共点；②切线到圆心的距离等于圆的 ；③切线垂直于经过切点的 ；④经过圆心垂直于切线的直线必过 ；⑤经过切点垂直于切线的直线必过 。

三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，三角形内切圆的圆心叫三角形的 . 切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与 之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .例1 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，AB=42，则⊙O 的直径等于（ ）A ．225 B ．32 C ．52 D ．7例2 如图，在坐标平面上，Rt △ABC 为直角三角形，∠ABC=90°，AB 垂直x 轴，M 为Rt △ABC 的外心．若A 点坐标为（3，4），M 点坐标为（-1，1），则B 点坐标为何（ ）A ．（3，-1）B ．（3，-2）C ．（3，-3）D ．（3，-4）例3 如图所示，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若AD=3，AC=2，则cosD 的值为（ ）A ．23B ．35C ．25D ．32知识点6：点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 其中r 为圆的半径，d 为点到圆心的距离， 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 数量(d 与r)的大小关系 d rd r d r例1 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________．例2 在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系．例3 如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°，公路PQ 上A 处距离O 点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿MN 方向以72千米/小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为（ ）A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．24秒例4 矩形ABCD 中，AB=8，BC=35，点P 在边AB 上，且BP=3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）A ．点B 、C 均在圆P 外 B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外D ．点B 、C 均在圆P 内例5 一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm ，则圆的半径为（ ）A ．16cm 或6cmB ．3cm 或8cmC ．3cmD ．8cm知识点7：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交 、相切、相离．设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离 相切 相交 公共点个数0 1 2 数量关系 d r d r d r例1、 在中，BC=6cm ，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，当半径r 多长时所作的⊙A 与直线BC 相切？相交？相离？例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．例3 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x-2与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能例4 如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．30° B．45° C．60° D．90°知识点8：圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R和r。

圆心距为d。

(R＞r)1. 两圆外离 _____________；2. 两圆外切_____________；3. 两圆相交______________；4. 两圆内切_____________；5. 两圆内含______________.例1．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．例2已知两圆半径r 1、r 2分别是方程x 2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．内切C ．外切D ．外离 例3如图，⊙O 1，⊙O ，⊙O 2的半径均为2cm ，⊙O 3，⊙O 4的半径均为1cm ，⊙O 与其他4个圆均相外切，图形既关于O 1O 2所在直线对称，又关于O 3O 4所在直线对称，则四边形O 1O 4O 2O 3的面积为（ ）A ．12cm 2B ．24cm 2C ．36cm 2D ．48cm 2例4定圆O 的半径是4cm ，动圆P 的半径是2cm ，动圆在直线l 上移动，当两圆相切时，OP 的值是（ ）A ．2cm 或6cmB ．2cmC ．4cmD ．6cm课堂小结：一、这章有三条常用辅助线：一是圆心距，第二是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离。

二、有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、弦与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。

作业 一、选择题1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （）（A ）ο15 （B ）ο30 （C ）ο45 （D ）ο602．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的41，那么这个圆柱的侧面积是 （）（A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米（C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ）（A ）225寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸4．（北京市朝阳）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ）（A ）6 （B ）25 C ）210 （D ）2145．（北京市朝阳）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（ ）（A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米二、填空题1．（北京市东城区）如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ， D 是优弧上的一点，已知∠BAC ＝ο80，那么∠BDC ＝__________度．2．（北京市东城区）在Rt △ABC 中，∠C ＝ο90，A Ｂ＝3，BC ＝1，以AC 所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是__________．3．（北京市海淀区）如果圆锥母线长为6厘米，那么这个圆锥的侧面积是_______平方厘米4．（北京市海淀区）一种圆状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“20厘米×60米”，经测量这筒保鲜膜的内径1ϕ、外径2ϕ的长分别为3.2厘米、4.0厘米，则该种保鲜膜的厚度约为_________厘米（π取3.14，结果保留两位有效数字）．三、解答题：1．（苏州市）已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ．①求证：AB ＝AC ；②若tan ∠ABE ＝21，（ⅰ）求BC AB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长．2．（广州市）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，⊙O 的割线PBC 过点O 与⊙O 分别交于B 、C ，PA ＝8cm ，PB ＝4cm ，求⊙O 的半径．3．（河北省）已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD ︰DB ＝2︰3，AC ＝10，求sin B 的值．4．（北京市海淀区）如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 的割线，CD ⊥AB 于点D ，若tan B ＝21，PC ＝10cm ，求三角形BCD 的面积．5．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．6．（四川省）已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．7．（贵阳市）如图所示：PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，求：（1）⊙O 的面积（注：用含π的式子表示）；（2）cos ∠BAP 的值．。