f1(t)*f2(t) = f(t)
时域分析: f 以(t冲) 激函数为f基(本 )信号(，t 任意)输d入 信号可分解为一系列冲激函数之和,即
而任意信号作用下的零状态响应 yzs(t)
yzs(t) = h(t)*f(t)
用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
学习 3 种变换域：频域、复频域、z 变换 ⑴ 频域：傅里叶表变换，t→ω；对象连续信号 ⑵ 复频域：拉普拉斯变换，t→s；对象连续信号 ⑶ z 域：z 变换，k→z；对象离散序列 设 f(t)=f(t+mT)----周期信号、m、T、 =2/T 满足狄里赫利 Dirichlet 条件，可分解为如下
ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k) f(k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0) f(k)*ε(k) =
f1(k – k1)* f2(k – k2) = f(k – k1 – k2)
[f1(k)* f2(k)] = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k)
1、 (t) ←→1，> -∞
(t) ←→ (t)estdt 1 0
def
F(s)
0

f
(t )estd t
2、指数函数 e-s0t ε(t)←→ 1 s s0
> -Re[s0]
es0t (t) es0test dt e(ss0 )t dt 1
0
0
s s0
3、指数函数 es0t ←→ 1 s s0
6. 符号函数
f(t) = e–tε(t)， >0
1 j
1,
sgn(t)
t0 0, t 0 1, t0
sgn(t ) 1
sgn(t )
lim
0
f (t )
O
t
1
f
(t)
F
(j )
1 j
1 j
j2 2
2
sgn(t)
lim
0
F
(j
)
lim 0
j
2
2
2
2 j
7. 阶跃函数 e (t)
傅里叶系数之间关系
Fn
Fn
e jn
1 2
An
e jn
1 2
(an
j bn
)
Fn
1 2
an2
bn2
1 2
An
n
arctan
bn an
an An cosn bn An sin n
n 的偶函数：an ， An ， |Fn | n 的奇函数: bn ，n 常用函数的傅里叶变换 1.矩形脉冲 (门函数） 记为 gτ(t)
B
2π
或B f
1
相位频谱
2π O 2π 4π
π 2π
0
2π 4π
π
2．单边指数函数 f(t) = e–tε(t)， >0
F (j ) 0 e
te j
td t 1 e( j )t j
0
1 j
频谱图
F (j )
1
j
幅度频谱
Fj 1
2 2
0,
F j 1
j j
F (j) / 2 e jt d t e 2 e 2
/ 2
j
2sin( )
2
Sa( )
2
F(jω)一般是复函数： F(jω) = | F(jω)|e j (ω)
幅度频谱
F ( j ) 2sin( 2 ) Sa( )
F j
2
2π
O 2π 4π
Fj
频宽：
0
j j 2 2
f t
1
O
t
Fj
2
F(jω) = | F(jω)|e j (ω)
O
4．冲激函数 (t)、´(t)
(t ) (t )e jtd t (t )dt 1
'(t )
'(t )e jtd t
d e jt dt
t0
j
'(t) f (t) d t f '(0)
, F j 0
f t
1
O
t
Fj
1
O
相位频谱：
arctan
0, , ,
0 π
2
π
2
π2
O π 2
3．双边指数函数 f(t) = e–|t| ， >0
F(j) 0 etej td t e tej td t 1 1 2
1
0t
(t) 1 1 sgn(t) () 1
22
j
1,
sgn(t)
t0 0, t 0 1, t0
1←→2() sgnt 2
j
1. F 变换对
2. 常用函数 F 变换对：
F(j) f (t) e j td t
t
ω
域
域
f (t) 1 F (j) e j td t 2
常用拉普拉斯变换总结
三角级数—— 称为 f(t)的傅里叶级数
f (t)
注意：
an
a0 2
是
an cos(nt)
n 的n偶1 函数， bn 是 n
bn sin(nt
的n1奇函数
)
f (t) A0 2
式中，A0 = a0 可见：An 是 n
An cos(nt n )
n1
An
a
2 n
bn2
的偶函数， n 是 n
> Re[s0]
4、(t)或 1 ←→1/s ，> 0 5、若 s0 为实数，且 s0 =±a(a>0) , 则
eat (t) 1 sa
a
eat (t) 1
sa
a
6、若 s0 为虚数，且 s0 =±jβ， 则
e jt (t) 1 s j
0
e jt (t) 1
s j
0
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2
←→
s s2 02
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→ 0 s2 02
拉普拉斯变换性质
n arctan
的奇函数。an =
bn aAnncosn，
bn = –Ansin n，n=1,2,…
傅里叶级数的指数形式
虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}
f (t)
Fn
ejnt
n
系数 Fn 称为复傅里叶系数
Fn
1 T
T
2T
f (t )e jnt d t
2
欧拉公式
cosx=(ejx + e–jx)/2 sinx=(ejx - e–jx)/2j