【标题】数学在艺术中的应用【作者】周小玲【关键词】数学艺术思想精神【指导老师】周均【专业】小学教育【正文】0 引言数学——抽象的思辨，严密的推理，逻辑的论证，精确的计算，总揽全局而又步步为营的思维方式，构造起号称为“思维的体操”的数学大厦的容基。

而艺术是对哲学思想的变迁和艺术家们对多变的技术环境的反应的最直接的表现形式；艺术是浮想联翩，潇洒不羁，蔑视规律，跳跃的思维律动，弥漫出若即若离的艺术图景。

咋一看，数学与艺术看作水火不容，但细细品味，艺术家们开始使用数学的语言和思想，并将其贯穿于五彩缤纷的艺术生活之中，鉴于辩证唯物论，任何事物都是辨证统一的，数学与艺术也蕴涵着内在的统一。

美国代数学家P.R.Halmos说：“数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的概念；[1]数学是创造性的艺术，因为数学家像艺术家一样的生活，一样的工作，一样的思索；数学是创造性的艺术，因为数学家这样对待它。

”可见，无论是数学还是艺术都是一种创造性的活动，并且包含了对于美的直接追求。

张继平教授说：“美,是人性的追求，是人类进步的一大动力。

”艺术是美的表达方式，数学是美的语言，数学追求美，也创造美。

数学与艺术的结合使美更加简明。

随着人们物质生活的日益提高，对自然精神生活的享受也会提升到更高的层次。

就算我们日常生活中随处可见到的广告、海报、宣传品等实用艺术，新兴出现的现代艺术中的媒体艺术中。

为吸引观众的眼球，就必须运用数学鬼斧神工的创造力来产生艺术的无穷魅力。

近几十年来，在我国和许多国家出现了一种应用数学方法研究艺术的思潮。

本文就从数学在音乐，文学，建筑，绘画等方面的应用来研究艺术中渗透的数学思想和精神。

1 数学在音乐中的应用音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物，那么“多情”的音乐与“冷酷”的数学有关系吗。

回答是肯定的，西尔威斯特说过：“难道不可以把音乐描述为感觉的数学，把数学描述为理智的音乐吗？拉莫说过：“音乐是一种必须掌握一定规律的科学，这些规律必须从明确的原则出发，这个原则没有数学的帮助就不可能进行研究，我必须承认，虽然我在相当长时期的实践活动中获得许多经验，但是只有数学能帮助我发展我的思想，照亮我甚至没有发觉原来是黑暗的地方。

”君不是也听说过：微积分被称为“无限的交响乐”，[2]黎曼几何与普兰克的钢琴合奏曲一样优美的感叹吗。

从古至今，数学与音乐一直联系在一起。

世界著名波兰作曲家和钢琴家肖邦很注意乐谱的数学规则，形式和结构，有位研究肖邦的专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。

事实上，乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域。

在乐稿上，我们看到速度，节拍（4/4拍，3/4拍，等等），全音符，二分音符，四分音符，八分音符，十六分音符，等等。

书写乐谱是确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似---不同长度的音符必须与某一拍所规定的小节相适应。

在毕达哥拉斯时代，音乐是数学的一部分。

毕达哥拉斯可以说是音乐理论的一位始祖，他阐明了单弦的调和乐音与单弦长之间的关系。

两根绷得一样紧的弦，若一根长是另一根长的两倍，就产生谐音，而且两个谐音正好相差八度。

若两弦长之比为3：2，则产生另一种谐音，此时短弦发出的音比长弦发出的音高五度。

事实上，产生每一种谐音的各种弦的长度都成正整数比，这被认为是美丽旋律中的数学。

乐器的形状和结构与各种数学概念有关。

不管是弦乐器还是有空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状。

此外，18世纪的数学家，通过用数学结构分析音乐，使常微分方程的研究取得了一定进展。

黄金分割在作曲的应用，在一些乐曲的创作技法上，将高潮，或者是音程，节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点0.618处，例如，要创作89节的乐曲，其高潮便在55节处；如果是55节的乐曲，高潮便在34节处。

数学语言描述音乐乐声的本质[2]。

数学家傅立叶研究证实无论是噪声还是乐音，复杂的还是简单的都可以用数学语言给以完全的描述。

对乐声性质的研究中发现,所有乐声---器乐和声乐---都可用数学式来描述,这些数学式是简单的周期正弦函数的和。

如果不了解音乐中的数学,在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能进展。

数学发现,具体地说即周期函数,在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的。

许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较.电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关。

2 数学在绘画中的应用在数学与绘画之间，似乎没有什么明显的相似之处，但数与形的概念可以上溯至远古的石器时代。

数起源于数，先民们把现实对象（野牛，野猪，羊，鹿．．．．．．）的轮廓抽象出来绘在壁上，并代表不同意义的符号记录牲畜的头数和发生的各类事情，这些原始绘画和记号已具有几何对称的特征和一定的数的意义。

当我们每每看到一幅幅绘画作品时，我们应该感叹数学美！达芬奇说：“绘画的目的是再现自然界，而绘画的价值就在于精确的再现，因此，绘画是一门科学，和其他科学一样，其基础是数学。

”从古至今，数学中的一些思想和精神指导着图形艺术的发展。

现就从以下几个方面来谈。

数学中的黄金分割美。

公元５００年，古希腊学者发现了“黄金”长方形，即长方形的长和宽之比为１.６１８最佳，这个比叫做黄金分割比。

把１.６１８的倒数（０.６１８）称为黄金分割数。

许多优美的图形之中都蕴涵了黄金分割的思想，如五角星图形（五条边相互分割成黄金比），黄金矩形（宽与长之比为黄金数），黄金三角形（底与腰或腰与底成黄金数），黄金椭圆（短轴与长轴之比成黄金数），黄金双曲线（实半轴与半焦距之比为黄金数）。

在荷兰美术家埃舍尔的艺术作品中，他直接运用大量的平面几何和摄影几何的结构，使得他的作品中深刻的反映了非欧几何学的精髓。

现就他作品来分析渗透在其中的数学思想。

绘画中的平面镶嵌理论和空间镶嵌理论。

“骑士平面镶嵌”和“黑白鸟的镶嵌”两幅平面镶嵌图，就是大胆运用镶嵌理论而来。

平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面。

让人眼花缭乱，扑朔迷离的平面镶嵌中可归纳出以下几种不同的镶嵌。

Ⅰ.相同正多边形（正三角形，正方形，正六边形）镶嵌。

Ⅱ.几种不同正多边形的镶嵌图。

Ⅲ.一般凸多边形（非正多边形）的平面镶嵌：①三角形都可以镶嵌一个平面，②任何凸四边形都可以镶嵌一个平面，③对于凸五边形，只有特定的凸五边形方可以镶嵌一个平面，④对于凸六边形，也只有特定的凸六边形（三组对边平行）才可以平面镶嵌。

Ⅳ.凹多边形的平面镶嵌。

Ⅴ.重复花样图形的镶嵌。

Ⅵ.几种精彩的平面镶嵌：①黑白图案的平面镶嵌，②变形矩形的平面镶嵌，③曲边形的平面镶嵌。

在“立方空间分割”中，我们可以获得空间镶嵌理论的概念。

绘画中的几何学思想。

从抽象派艺术大师毕加索的不少作品中，可以看到几何图形描绘对象的手法，把形体变成有重叠的或透明的几何面块所组成的抽象构图。

埃舍尔的作品木版画“三个方向交叉的平面”显示了艺术家对空间维度的关心，以及用二维的方式来表现三维空间的能力。

绘画中的射影几何。

[3]射影几何研究的是平面图形在经受投影时不发生变化的一些特性。

为了创造现实主义的三维绘画，艺术家们用了射影几何中的一些概念，即投影点，平行会聚线和没影点。

以埃舍尔的作品“上升和下降”为例，他精心使用了透视画法规律（在构图上把视点放在一个静止不动的点上），画出了一队爬上楼梯的士兵。

绘画中的拓扑学，拓扑学关注的是空间那些扭曲后依然不变的性质，这种扭曲可以是拉长或弯曲，但不是撕裂或折断。

以埃舍尔的作品木刻画“莫比乌斯带”为例，莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯于１８４８年创造的，莫比乌斯带实则是用一张长方形的纸条扭转半圈并将端头粘接在一起的带子。

绘画中的无穷大思想。

在埃舍尔的作品“旋涡”中，螺线把人们的目光带上无尽的旅程。

在“方极限”中，凸现出趋向边界又无穷序列的感觉。

绘画中的分形理论。

分形是以无限多的形状呈现出来的美妙物体。

分形不但是数学，而且也是艺术。

欣赏分形图画，不但惊异数学的奥妙，也欣赏到数学艺术的美。

例如，在道?琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。

近代计算技术已将数学与美术这两者紧密地结合起来，从而形成了一门崭新的边缘学科---数学美术学。

[4]1980年当计算机的图形功能日趋完善的时候，数学公式所具有的美学价值被曼德布尔鲁斯所发现，这就打开了数学美术宝库的大门，使常人也有幸目睹了数学公式所蕴藏的美学内涵。

由一些简单的数学公式经过上亿次迭代计算所产生的数学美术作品，美在似与不似之间，从而为观众留下了丰富的想象余地。

3 数学在文学中的应用文学与数学看似风马牛不相及的两条道上跑的车，实则文学与数学有着奇妙的同一性，雨果说：“数学到了最后阶段就遇到想像，在圆锥曲线，对数，概率，微积分中，想象成了计算的系数，于是数学也成了诗。

”哈佛大学的亚瑟.杰费说：“人们把数学对于我们社会的贡献比喻为空气和食物对生命的作用，我们大家都生活在数学的时代—我们的文化已‘数学化’。

”小说中的数学思想[5]。

伏尔泰说：“甚至在数学科学中也有惊人的想象。

”马德莱娜.伦格尔在她的长篇小说《时间皱纹》中把抄立方体和高维空间用作使她的人物越过外层空间的工具。

“对五维来说，你必须将第四维平方，再加上其余四个维，于是你就能越过空间而无需绕长路。

换言之，直线不是两点间的最短距离。

”伊塔洛．卡尔维诺在他的短篇小说《一切在一点上》中描述了一个存在于仅一点的世界。

他的独特创造力使人们相信这样一个零维世界是真的存在的。

“自然，我们都在那儿，――老Qfwfg说，—此外我们还能在哪儿呢？既然没人知道可以有空间。

时间也是如此：我们既然挤在一起像沙丁鱼一样，要时间干什么呢？我说‘挤得像沙丁鱼’，是用了文学上的形象比喻，实际上根本没有空间可以把我们挤进去。

我们中间每一个人的每一点都同其他每个人的每一点重合在仅仅一个点上，这就是我们大家的所在地。

”生活在中世纪的但丁，在他作品《神曲》中，我们发现欧几里的几何对象是但丁书中的地狱基础。

圆锥形状用来把人们放在地狱的各个阶段。

在地狱里面，但丁使九个圆形截面起着把人们按照所犯的罪分类的坛坫的作用。

《星际旅行―――下一代》中的数学思想，其中一段情节中，星际飞船正被一个“看不见的”力拉向黑洞。

只是当飞船的图象监视器改变了观察的着眼点，船员们才知道这未知力是微小生命形式的一个二维世界。

诗中的数学意境[2]。

在我国的古诗名句中，能找到一种数学意境，让人遐想，让人品味。

如唐代诗人王维在《使至塞上》中的绝唱，“大漠孤烟直”在数学家眼中便成了一条垂直于平面的直线，“长河落日圆”在数学家眼中便是一个圆切于一条直线。

李白在《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中写到“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”，当我们在理解无穷小量是以零为极限的变量时，如果脑海中能出现一幅“一叶孤舟随着江流远去，帆影在逐渐缩小，最终消失在水天一际之中”这样的图景，数学概念也就融合在这美的诗意中了。