第22讲数论综合三典型问题◇◇兴趣篇◇◇1.（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数。

（2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数。

【分析】（1）设这个三位数为abc 根据题意有240abc n =，即240000abc n +=，22200(200)(200)abc n n n =-=+-当201n =时，401abc =，五位数是220140401=当202n =时，804abc =，五位数是220240804=当203n =时，abc 不是三位数（舍去）所以满足条件的三位数是401，804（2）当这个自然数是一位数时，有280a n =，229841=，228784=，因此一位数不存在，同理两位数不存在当这个自然数是三位数时，有280abc n =，280000abc n =-，228480656=，所以最小自然数是6562.已知!n 3 是一个完全平方数，试确定自然数n 的值。

（n n !123 ）【分析】当6n ≥时，!()n m 3331 ，不可能是完全平方数，因此n 只能取1到5间的数，经试验1n =或33.一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7。

如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数。

求原来的四位数。

【分析】根据题意有2abcd m =，2(3)(3)(3)(3)a b c d n ++++=，因此223333n m -=，即()()311101n m n m +-=⨯⨯，且,n m 都是两位数，因此()()33101n m n m +-=⨯，所以67,34n m ==，原来的四位数是2341156=4.请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除。

【分析】根据题意是三位奇数，因此各位数字不能取偶数，当有一个数字是9时，必然另外两个数字有一个是偶数，因此三个数字只能是1,3,5,7，所以满足条件的三位奇数为135，315，175，7355.在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除。

请问：所有满足条件的两位数之和是多少？【分析】设满足条件的两位数为ab ，依题意有0a b mab =，即10010a b ma mb +=+，m 最大只能取10，最小取6，当10m =时，有10010010a b a b +=+，因此0b =这样的两位数有10,20,30,,90 ，同理当9m =时，有100909a b a b +=+，这样的两位数有45；同理当8m =时，有100808a b a b +=+，这样的两位数不存在；同理当7m =时，有100707a b a b +=+，这样的两位数有15；同理当6m =时，有100606a b a b +=+，这样的两位数有18；满足条件的两位数之和是102090154518528++++++= 6.用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？【分析】23540235=⨯⨯，因此可以让这两个三位数尽可能都是4的倍数和9的倍数，所以只能是324，756或432，7567.一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数。

求满足要求的最小值。

【分析】当这个自然数为一位数a 时，9910000a a a a a ⨯=-=-，因此十位数字是9不成立；当这个自然数为两位数ab 时，9910000ab ab ab ab ab ⨯=-=-，因此个位数字是偶数，这样百位数字为奇数，不成立；当这个自然数为三位数abc 时，99100000abc abc abc abc abc ⨯=-=-，因此个位数字是偶数，这样千位数字为奇数，不成立；当这个自然数为四位数abcd 时，9910000abcd abcd abcd abcd abcd ⨯=-=-，因此个位数字、千位数字是偶数，百位、十位数字是奇数；且a c >，b d >，所以满足要求的最小值是23128.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被被三个数整除。

满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？【分析】要求和最小，这三个数应尽量小，因此这三个数分别含质因数2,3,5，再根据题意只能是任意两个因数的积，即23⨯，35⨯，52⨯，所以满足上述条件的3个自然数之和最小是1015631++=9.小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变。

最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？【分析】根据题意每人得的分数只能是3n 的形式，设小明得的分数为3n ，小华得的分数为3m ，所以有233311n m p -=⨯（,,m n p 都是整数，n m >），即23(31)311m n m p --=⨯，只需让31n m --是11的倍数，最小的是531242-=是11的倍数，所以最小7n =，2m =，因此至少玩729+=局10.对于一个自然数N ，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被1N +整除。

那么在1至10这10个自然数中有多少个“破坏数”？【分析】首先，奇数肯定是破坏数.因为任何一个自然数右端添上一个奇数，得到的新数必然还是奇数，不可能被偶数整除.4也是破坏数，因为末位是4的自然数肯定不是5的倍数.因此破坏数有6个备注：题目有问题，应将2008改为10◇◇拓展篇◇◇1.（1）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；（2）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；（3）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04。

【分析】（1）设最小的自然数为一位数，有220a n =，即2200a n =-，经试验这样的一位数不存在；设最小的自然数为两，有位数有220ab n =，即22000ab n =-，当45n =时，满足条件，所以满足条件（1）的最小自然数是45；（2）同样的方法得到，满足条件（2）的最小自然数是48；（3）同样的方法得到，满足条件（3）的最小自然数是448；2.已知!n 4 等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n 的值。

（n n !123 ）【分析】当4n ≥时，!!44(1)4n n +=⨯+，!14n +是奇数，不可能是3或5，所以4n <，经试验2n =3.找出三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，但是两两均不相质。

请写出所有可能的情况。

【分析】这三个数应该是,,a b b c c a ⨯⨯⨯的形式，其中,,a b c 都为质数，但不能有7，因为732120⨯=>，所以,,a b c 只能是2,3,5；因此有23,35,52⨯⨯⨯；223,35,52⨯⨯⨯；223,35,52⨯⨯⨯；即6，15，10；12，15，10；18，15，104.三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数。

求所有满足要求的情况。

【分析】这三个数应该是,,a b b c c a ⨯⨯⨯的形式，其中,,a b c 都为质数，由于是奇数，所以不能有2，又因为三个数的最小公倍数共有18个约数，18233=⨯⨯，因此这三个数为2235,37,57⨯⨯⨯；2235,311,511⨯⨯⨯，即75,63,35;75,99,555.147102008⨯⨯⨯⨯⨯ 的末尾有多少个连续的零？【分析】只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多．1到2008里面共有(20081)31670-÷+=个数．其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前45个中，10、25、40、55、 130共含有11个因子5．所以，含有5的因子个数为125255111167++++=．6.一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数。

如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？【分析】设这个四位数是abcd ，根据题意有abcd cd m ab ÷= ，即abcd cd m ab =⨯+，即100ab cd cd m ab +=⨯+，99(1)ab cd m =⨯-，所以cd 是11的倍数，且cd 是质数11cd =，cd ab >，所以10ab =，原来的四位数是10117.任意一些末两位是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们称25是“变不掉的两位数尾巴”。

显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”。

【分析】设变不掉的三位数尾巴为x ，则有2x x -是1000的倍数，即33(1)25x x n -=⨯⨯（n为整数），等式左边是一个奇数乘以一个偶数，因此等式右边其中一个是125的奇数倍数，另一个是8的倍数，且是连续的自然数，因此这两个数分别为375、376或625、624，即“变不掉的三位数尾巴”只能是376，625，还有000，0018.在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积。

请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积。

【分析】设满足条件的两个数为,a b ，因此有ab m a b =+（m 为整数）即111a b m+=，111a m b =-，令4a =，有111424=-，1114312=-，这样插入的第二个数为4或12，同理再考虑右边的3，而111326=-，这样第三个数只能是6,又因为两个相同的偶数必满足条件，所以答案有4，4，12，6，3或4，12，6，6，3或4，12，12，6，39.M 、N 是互位反序的两个三位数，且M N >。

请问：（1）如果M 和N 的最大公约数是7，求M ；（2）如果M 和N 的最大公约数是21，求M 。

【分析】（1）设这个三位数为abc ，逆序数为cba ，M 和N 的最大公约数是7，所以abc cba -，abc cba +应是7的倍数，即99()a c -，101()20a c b ++是7的倍数，满足条件的只有9,2,5a c b ===；8,6,1a b c ===，但861是3的倍数（舍去）,因此M 是952（2）通过第一问得知，M 和N 的最大公约数是21时，861M =10.用1、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A 和B ，那么A 、B 、540这三个数的最大公约数最大可能是多少？【分析】因为23540235=⨯⨯，而用1、2、3、4、5、6组成两个三位数，最多有一个是5的倍数，最多有一个是9的倍数，可以组成两个是3,4倍数的三位数，即312,456，A 、B 、540这三个数的最大公约数最大可能是1211.请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数。