第二章信号描述及其分析【2-1】 描述周期信号的频率结构可采用什么数学工具？如何进行描述？周期信号是否可以进行傅里叶变换？为什么？参考答案：一般采用傅里叶级数展开式。
根据具体情况可选择采用傅里叶级数三角函数展开 式和傅里叶级数复指数函数展开式两种形式。
不考虑周期信号的奇偶性，周期信号通过傅里叶 级数三角函数展开可表示为：x(t) a 。
A n sin(n 。
n) (n 1,2,3, L )n 11 T '2a 。
x (t )dtT T ：22 -2 T 2 2 T2A n■, a nb n (an〒 T 2x(t)cos n otdtS 〒T 2 x(t)sinn o tdt )tan n b n , a n式中，T 为信号周期,。
为信号角频率,。
2 ,. T 。
A图为信号的幅频图,n图为信号的相频图。
周期信号通过傅里叶级数复指数函数展开式可表示为x(t)nC n e jn 0t1 「2 C nx(t)eTT 2(n 0, 1, 2,L ) jn 0tdtC n 是一个复数，可表示为:nC n图为信号的幅频图图称为信号的相频图▲不可直接进行傅里叶变换,因为周期信号不具备绝对可积条件。
但可间接进行傅里叶变换。
参见书中第25页“正弦和余弦信号的频谱”【2-2】求指数函数x(t) Ae at (a 0, t 0)的频谱。
参考答案：由非周期信号的傅里叶变换，X( ) x(t)e j t dt ，得X() 0 x(t)e t dt 一a j 由此得到，幅频谱为: X()相频谱为：【2-3】求周期三角波() (图2-5a)参考答案：周期三角波为: x(t)arcta n( /a)的傅里叶级数(复指数函数形式)A (2AT)t(2AT)tT2 t 0 0 tT2则C n T 2T2x(t)e jn0t dt积分得C n cosn。
才) 羊y(1 cosn )n2 2C n 2A (n )23, 5,Ln 1,n 0, 2, 4,Lb n 0，所以n又因为周期三角波为偶函数，则所以，周期三角波傅里叶级数复指数形式展开式为:arctan Cm/C nR 0x(t)n C n e jn 0t2A(2k 1) 2e j(2k 1) 0t(k 0, 1, 2L)cos【2-4】求图2-15所示有限长余弦信号x(t)的频谱。
x(t)0t参考答案:方法一X()TT cos o tesin( 0 )TT 1J t dt -(e J 0tT2Vsin( 0 )T0t )e j t dtT[sinc( 0)T sinc( 0 )T]方法二：对于上面所给的有限长余弦信号x(t)，其实也就是用一个窗宽为2T的窗函数把无限长的余弦信号截断所得到的，即把无限长余弦信号x(t)与窗函数相乘，此时所需的窗函数为:1 (由傅里叶变换的性质可知，时域内相乘，对应在频域内相卷积，即x(t)w(t) X(f) W(f)。
已知，余弦信号的傅里叶变换是 X(f) W(f)意味着把W(f)的图像搬移到X(f)图像的位置。
【2-5】当模拟信号转化为数字信号时遇到那些问题？应该怎样解决？参考答案：遇到的问题：1)采样间隔与频率混叠；2)采样长度与频率分辨率；3)量化与量 化误差；4)频谱泄漏与窗函数。
参见课本第26〜29页。
第三章测试系统的基本特性【3-1】 测试装置的静态特性指标主要有哪那些？它们对装置性能有何影响？参考答案：主要有：线性度，灵敏度，和回程误差。
线性度主要影响系统的测试精度，灵敏 度主要影响系统的分辨力，而回程误差主要引起系统的滞后误差。
【3-2】 什么叫一阶系统和二阶系统？它们的传递函数，频率响应函数以及幅频和相频表达 式是什么？ 参考答案：(1)能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统。
其传递函数为：S 为系统灵敏度w(t)频率响应函数为:H(j ) S J 1 ( )2(2)能够用用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。
2n 幅频特性：A(H(j相频特性：() arctan()其传递函数为:H(S) Yt SnS频率响应函数为:H(j2n(j )2 2 n (j )函数，由 函数的性质,幅频特性：A()H(jJ1 (n)2] 4 2(n)2相频特性为：(2 ( arcta nn) n )21 【3-3】求周期信号x(t) O.5cos(10) O.2cos(1O0 45)通过传递函数为H(s)的装置后得到的稳态响应?参考答案： 信号 x(t)可分解为两个信号 x^t) 0.5cos(10)和 X 2(t)0.2cos(100t 45 )。
分别求出这两个信号通过装置的响应，再相加, 就疋信号x(t)的响应。
X 〔(t)的角频率110，而0.005，则A( )1 ,1 ( 1 )2 0.9981( )arcta n( 1 )2.86 oX 2(t)的角频率2100，同理得Ad ) 1. J ( 2 )2 0.8941( ) arctan( 2 )26.5 o所以信号x(t)经过一阶装置的稳态响应为:【3-4】一气象气球携带一种时间常数为15s 的一阶温度计，并以5m/s 的上升速度通过大气 层。
设温度随所处的高度按每升高 30m 下降0.150C 的规律变化，气球温度和高度的数据用无 线电传回地面。
在3000m 处所记录的温度为 20C 。
试问实际出现 20C 的真实高度是多少？ 参考答案：设实际出现20C 的真实高度为h,则温度计的输入为0 15°C x(t)20Ct x(t) 2 0.025t30m 5m s当 t 2，y(t)2.1550C ，t 1.9 «t) 2.094C ，t 1.8 y(t)2.0313°C <设实际出现20C 的真实高度为h ，从输入到稳态输出需要一定的过渡时间，一般响应已达到稳态值的98%以上，调整时间T s 4，此题温度计调整时间T s 60s ，则在20C 时, 气球的真实高度H=3000-(60*5)=2700米。
0.005s 1y(t) 0.499cos(10t 2.86°)0.179cos(100t 71.5°)L[x(t)]X(s)-s 已知一阶温度计的传递函数H (s)Y(s) X(s)H(s)0.025丁1s 10.025 (_s^ 0.025] 故有取拉氏逆变换L 1")]{L 1[ 2 s 2{0.025t 1.625(1 2 0.025 0.025 2 0.025 2 2 s 1 ]}(2e t ssL 1[2 0.025 s 0.025 ) (0.025 2)e t } )0.025t]L 1[【3-5】某传感器为一阶系统，当阶跃信号作用在该传感器时，在t 0时，输出10mV ; t 5s 时，输出50mV ，试求该传感器的时间常数。
x(t)所以稳态输出为:参考答案：该测试系统可看成一个一阶系统和一个二阶系统串联而成。
3155072阶系统传递函数H( )(〔 00")，其中10.01, S 2；时，输出100mV ;在t 参考答案：阶跃信号可表示为阶跃信号通过一阶系统,其输出的拉氏变换为Y(s)A 1 X(s)H(s)—s取拉氏逆变换，y(t)1L [Y(s)] A(1 te ;)，由题意代入数据得到y(t)100 90e '时间常数 8.5065s【3-6 】求信号 x(t) 12sint 30°) 4sin(2t 45) 10cos(4 60°),通过一阶系统后的输出y(t)。
设该系统时间常数1s ，系统的灵敏度为S 25。
参考答案：信号x(t)可分解为三个信号,x ,(t) 12sin(t 30°)，x 2(t)4sin(21 分别求出三个周期信号的幅频和相频响应，即45。
)，x 3(t) 10cos(4t 60°) A(AlA 3(H(jH(jH(j，1()2(6.06，3(arcta n( 1 arctan( 2arcta n(345°，63.4°，76oy(t)262.8si n(150) 44.4 sin(2 t18.4 0) 60.6 cos(4 t 160)【3-7】某测试系统频率响应函数为H()3155072(1 0.01 j )(157**** **** j求该系统对正弦输入x(t) 10sin(62.8t)的稳态响应。
S )(3 )211.1，参考答案：由题意知:n10000.14，信号500由A()1[1 ( n )2] 4 2( n)2 ，得2 ( / )arctan(1 ； *)，得() 1 (d)A( )1.3210.57°二阶系统传递函数 H()(1577536 I760j —5 '其中 1， "1256，对一阶系统：A )/ ------- 2 1.6937 ( ) arctan( )32.13V 1 ( )2对于二阶系统:A( )'0.9988血(/ n )2] 4 2( / n )2 2 ( )()arctan(2)4.01 1(/ n )2所以稳态输出为：y(t) 16.917si n(62.81 36.140)【3-8】单位阶跃信号作用于一个二阶装置之后，测得其响应中产生了数值为2.25的第一个超调量峰值。
同时测得其衰减振荡周期为 3.14s 。
已知该装置的静态增益为5,试求 该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。
参考答案：已知超调量M 2.25，由 1 V ( ln M )2 1，得阻尼比因为衰减振荡周期T 3.14 s ，则由公式T 2「d ，得d0.25，又由公式 n 2，得系统的固有频率 n2.06已知静态增益为5,所以该装置的传递函数为:H(s)2 ns 2 2 n S 当无阻尼，即 0时，由.【3-9】设某力传感器可作为二阶振荡系统处理_ 21.2 n 2s 2 1.03s4.24d \ 12，得n d 2，代入频响公式即可。
已知传感器的固有频率为1000Hz ，阻尼比 0.14，问使用该传感器作频率为500Hz 的正弦力测试时，其幅值比A( )和相角差()各为多少？若该装置的阻尼比可改为作何种变化？ 0.7，问 A()和( )又将同理，当0.7 得A ) 0.98, ( ) 43.02。
【3-10】如何理解信号不失真测试的条件？若要求输入信号通过系统后反相位，则系统有何要求？参考答案：系统实现不失真测试可用其幅频特性和相频特性简单表示为：A（） A0，（）t。
这表明：1）系统的幅频特性，即灵敏度，在量程范围内要求为常数。
任何非线性度、回程误差、漂移的存在，都会引起测试波形的失真。