线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221a a a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112a a a a ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。

（课本P1）同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a a a a a a a 。

即111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3） 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组： 对二元方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩设111221220a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a D x a a Da a ==，1112122211122122.a b a b D x a a Da a ==（课本P2） 对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠， 1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =， 则11D x D =，22Dx D =，33D x D=。

（课本上没有） 注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。

第二节：全排列及其逆序数全排列：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）。

n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用P n (或A n )表示。

（课本P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。

（课本P5）计算排列逆序数的方法： 方法一：分别计算出排在1,2,,1,n n - 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,n n-这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。

方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。

（课本上没有）第三节：n 阶行列式的定义定义：n 阶行列式111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积1212n p p np a a a 的代数和，其中p 1 p 2 … p n 是1， 2， … ，n 的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。

()()111211222211221122010n t n n nn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=也可简记为()det ij a ，其中ij a 为行列式D 的（i ，j 元）。

（课本P6）根据定义，有()()121212111212122212121==-∑n n nn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n 阶行列式是!n 项的代数和;3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;4、1212n p p np a a a 的符号为()1t-，t 的符号等于排列12,,...n p p p 的逆序数5、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆。

推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。

即()()111211222211221122010n t n n nn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于()()121n n --乘以其副对角线上各元的乘积。

即1212n nλλλλλλ=，()()1122121n n n nλλλλλλ-=-（上述二推论证明课本P7例6）第四节：对换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。

将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。

（课本P8）定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。

（上述二定理证明课本P8）定理2 n 阶行列式det()ij D a =的项可以写为12121122()()(1)n n n n t q q q t p p p q p q p q p a a a +-，其中q 1q 2…q n 是行标排列，p 1p 2 …p n 是列标排列 。

（证明课本P9）推论设有n 阶行列式det()ij D a =，则1212()12(1)n n t q q q q q q n D a a a =-∑或12121122()()(1)+=-∑n n n n t q q q t p p p q p q p q p D a a a 或1212()12(1)n n t q qq p p np D a a a =-∑（行列式三种不同表示方法） 推论在全部n 阶排列中()2n ≥，奇偶排列各占一半。

证明 设在全部n 阶排列中有s 个奇排列，t 个偶排列，现来证=s t 。

将s 个奇排列的前两个数对换，则这s 个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，所以s t ≤。

若将t 个偶排列的前两个数对换，则这t 个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不同，于是有t s ≤。

综上有s=t 。

第五节：行列式的性质定义 记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =，112111222212n n Tnnnna a a a a a D a a a =，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

（证明课本P9）说明 行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。

性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ，行列式变号。

（证明课本P10） 推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．（证明课本P10） 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()i i ni i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+1112111112112122222122221212i n i ni n i n n n ninnn n ninna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+'性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。

（课本P11）计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算+i j r kr 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。

说明 行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。

第六节 行列式按行（列）展开余子式 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。

代数余子式 ()1i jij ij A M +=-记，叫做元素ij a 的代数余子式。

（课本P16） 引理一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除（i ，j ）(,)i j 元外ij a 都为零，那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =。

（证明课本P16）定理n 阶行列式 111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++，(1,2,,)i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或，(1,2,,)j n =。

（证明课本P17）扩展范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()≥>≥---==-∏n n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x 的证明见课本P18展开定理推论n 阶行列式 111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即11220()i s i s in sn a A a A a A i s +++=≠11220()j t j t nj nt a A a A a A j t +++=≠或（证明课本P19）第七节 克拉默法则如果线性方程组11112211211222221122+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零，即1112121222120=≠n n n n nna a a a a a D a a a ，那么该方程组有唯一解312123,,,,nn D D D Dx x x x D D DD====其中D i 是用非齐次项代替D 中第i 列元素后所得的行列式。