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备战中考数学 一元二次方程 培优易错试卷练习(含答案)附答案解析

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +k 2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围;(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k =2,求该矩形的对角线L 的长.【答案】(1)k >34;(2 【解析】【分析】(1)根据关于x 的方程x 2-(2k +1)x +k 2+1=0有两个不相等的实数根,得出△>0,再解不等式即可;(2)当k=2时,原方程x 2-5x+5=0,设方程的两根是m 、n ,则矩形两邻边的长是m 、n ,利用根与系数的关系得出m+n=5,mn=5,利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】(1)∵方程x 2-(2k +1)x +k 2+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2k +1)]2-4×1×(k 2+1)=4k -3>0,∴k >34; (2)当k =2时,原方程为x 2-5x +5=0,设方程的两个根为m ,n ,∴m +n =5,mn =5,∴==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)△=0时,方程有两个相等的实数根;(3)△<0时,方程没有实数根.2.发现思考:已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根,求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少?下边是涵涵同学的作业,老师说他的做法有错误,请你找出错误之处并说明错误原因.涵涵的作业解:x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9>0∴732±∴x1=5,x2=2所以,当腰为5,底为2时,等腰三角形的三条边为5,5,2.当腰为2,底为5时,等腰三角形的三条边为2,2,5.探究应用:请解答以下问题:已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣14=0的两个实数根.(1)当m=2时,求△ABC的周长;(2)当△ABC为等边三角形时,求m的值.【答案】错误之处及错误原因见解析;(1)当m=2时,△ABC的周长为72;(2)当△ABC为等边三角形时,m的值为1.【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5.(1)先解方程,再确定边,从而求周长;(2)是等边三角形,则两根相等,即△=(﹣m)2﹣4(m2﹣14)=m2﹣2m+1,可求得m.【详解】解:错误之处:当2为腰,5为底时,等腰三角形的三条边为2、2、5.错误原因:此时不能构成三角形.(1)当m=2时,方程为x2﹣2x+34=0,∴x1=12,x2=32.当12为腰时,12+12<32,∴12、12、32不能构成三角形;当32为腰时,等腰三角形的三边为32、32、12,此时周长为32+32+12=72.答:当m=2时,△ABC的周长为72.(2)若△ABC为等边三角形,则方程有两个相等的实数根,∴△=(﹣m)2﹣4(m2﹣14)=m2﹣2m+1=0,∴m1=m2=1.答:当△ABC为等边三角形时,m的值为1.【点睛】本题考核知识点:二元一次方程的运用.解题关键点:熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.3.解下列方程:(1)2x2-4x-1=0(配方法);(2)(x+1)2=6x+6.【答案】(1)x1=1+62,x2=1-62(2) x1=-1,x2=5.【解析】试题分析:(1)根据配方法解一元二次方程的方法,先移项,再加减一次项系数一半的平方,完成配方,再根据直接开平方法解方程即可;(2)根据因式分解法,先移项,再提公因式即可把方程化为ab=0的形式,然后求解即可.试题解析:(1)由题可得,x2-2x=12,∴x2-2x+1=32.∴(x-1)2=32.∴x-1=±32=±6.∴x1=1+6,x2=1-6.(2)由题可得,(x+1)2-6(x+1)=0,∴(x+1)(x+1-6)=0.∴x+1=0或x+1-6=0.∴x1=-1,x2=5.4.已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0,有两个实数根x1,x2.(1)求实数a的取值范围;(2)若x12x22+4x1+4x2=1,求a的值.【答案】(1)a≤3;(2)a=﹣1.【解析】试题分析:(1)由根的个数,根据根的判别式可求出a的取值范围;(2)根据一元二次方程根与系数的关系,代换求值即可得到a的值.试题解析:(1)∵方程有两个实数根,∴△≥0,即22﹣4×1×(a﹣2)≥0,解得a≤3;(2)由题意可得x1+x2=﹣2,x1x2=a﹣2,∵x12x22+4x1+4x2=1,∴(a﹣2)2﹣8=1,解得a=5或a=﹣1,∵a≤3,∴a=﹣1.5.阅读下面的例题,范例:解方程x 2﹣|x|﹣2=0,解:(1)当x≥0时,原方程化为x 2﹣x ﹣2=0,解得:x 1=2,x 2=﹣1(不合题意,舍去). (2)当x <0时,原方程化为x 2+x ﹣2=0,解得:x 1=﹣2,x 2=1(不合题意,舍去). ∴原方程的根是x 1=2,x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0.【答案】x 1=4,x 2=﹣5.【解析】【分析】分为两种情况:当x≥10时,原方程化为x 2﹣x=0,当x <10时,原方程化为x 2+x ﹣20=0,分别求出方程的解即可.【详解】当x≥10时,原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0,解得x 1=0(不合题意,舍去),x 2=1(不合题意,舍去);当x <10时,原方程化为x 2+x ﹣20=0,解得x 3=4,x 4=﹣5,故原方程的根是x 1=4,x 2=﹣5.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法,解此题的关键是能正确去掉绝对值符号.6.已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数,m≠0).(1) 试说明:此方程总有两个实数根.(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0;(2)m=-1,-3.【解析】分析: (1)先计算判别式得到△=(m -3)2-4m •(-3)=(m +3)2,利用非负数的性质得到△≥0,然后根据判别式的意义即可得到结论;(2)利用公式法可求出x 1=3m ,x 2=-1,然后利用整除性即可得到m 的值. 详解: (1)证明:∵m ≠0,∴方程mx 2+(m -3)x -3=0(m ≠0)是关于x 的一元二次方程,∴△=(m -3)2-4m ×(-3)=(m +3)2,∵(m +3)2≥0,即△≥0,∴方程总有两个实数根;(2)解:∵x =()()332m m m --±+ , ∴x 1=-3m,x 2=1, ∵m 为正整数,且方程的两个根均为整数,∴m =-1或-3.点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2-4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了解一元二次方程.7.关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)=0有两个不相等的实数根.(1)求n 的取值范围;(2)若n 为取值范围内的最小整数,求此方程的根.【答案】(1)n >0;(2)x 1=0,x 2=2.【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ,即可求出n 的取值范围; (2)根据题意得出n 的值,将其代入方程,即可求得答案.【详解】(1)根据题意知,[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得:0n >;(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数,∴1n =,则方程为220x x -=,即(2)0x x -=,解得120,2x x ==.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系(①当>0∆ 时,方程有两个不相等的实数根;②当0∆= 时方程有两个相等的实数根;③当∆<0 时,方程无实数根)是解题关键.8.为了让学生亲身感受合肥城市的变化,蜀山中学九(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动,某旅行社推出了如下收费标准:(1)如果人数不超过30人,人均旅游费用为100元;(2)如果超过30人,则每超过1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不能低于80元.该班实际共支付给旅行社3150元,问:共有多少名同学参加了研学游活动?【答案】共有35名同学参加了研学游活动.【解析】试题分析:由该班实际共支付给旅行社3150元,可以判断出参加的人数在30人以上,等量关系为:(100﹣在30人基础上降低的人数×2)×参加人数=3150,得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可.试题解析:∵100×30=3000<3150,∴该班参加研学游活动的学生数超过30人.设九(1)班共有x 人去旅游,则人均费用为[100﹣2(x ﹣30)]元,由题意得: x[100﹣2(x ﹣30)]=3150,整理得x 2﹣80x+1575=0,解得x 1=35,x 2=45,当x=35时,人均旅游费用为100﹣2(35﹣30)=90>80,符合题意.当x=45时,人均旅游费用为100﹣2(45﹣30)=70<80,不符合题意,应舍去. 答:该班共有35名同学参加了研学旅游活动.考点:一元二次方程的应用.9.阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=,求m 、n 的值.解: 22228160m mn n n -+-+=,222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=,0,40m n n ∴-=-=,4,4n m ∴==.根据你的观察,探究下面的问题:(1)己知2222210x xy y y ++++=,求x y -的值.(2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足2268250a b a b +--+=,求边c 的最大值.(3) 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=,求a b c -+的值.【答案】(1)2(2)6(3)7【解析】【分析】(1)将多项式第三项分项后,结合并利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x 与y 的值,即可求出x ﹣y 的值;(2)将已知等式25分为9+16,重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a 与b 的值,根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长;(3)由a ﹣b =4,得到a =b +4,代入已知的等式中重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b 与c 的值,进而求出a 的值,即可求出a ﹣b +c 的值.【详解】(1)∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴(x 2+2xy +y 2)+(y 2+2y +1)=0∴(x +y )2+(y +1)2=0∴x +y =0 y +1=0解得:x =1,y =﹣1∴x ﹣y =2;(2)∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴(a 2﹣6a +9)+(b 2﹣8b +16)=0∴(a ﹣3)2+(b ﹣4)2=0∴a ﹣3=0,b ﹣4=0解得:a =3,b =4∵三角形两边之和>第三边∴c <a +b ,c <3+4,∴c <7.又∵c 是正整数,∴△ABC 的最大边c 的值为4,5,6,∴c 的最大值为6;(3)∵a ﹣b =4,即a =b +4,代入得:(b +4)b +c 2﹣6c +13=0,整理得:(b 2+4b +4)+(c 2﹣6c +9)=(b +2)2+(c ﹣3)2=0,∴b +2=0,且c ﹣3=0,即b =﹣2,c =3,a =2,则a ﹣b +c =2﹣(﹣2)+3=7.故答案为7.【点睛】本题考查了因式分解的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.10.元旦期间,某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.(1)求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元?(2)在(1)的情况下,超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克,若将这两种苹果的售价各提高1元,则超市每天这两种苹果均少售出10千克,超市决定把这两种苹果的售价提高x 元,在不考虑其他因素的条件下,使超市销售这两种苹果共获利960元,求x 的值.【答案】(1)甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克;(2)x 的值为2或7.【解析】【分析】(1)根据题意列二元一次方程组即可求解,(2)根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】(1)解:设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得:()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得:108a b =⎧⎨=⎩ 答:甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克(2)由题意得:()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得:12x =,27x =经检验,12x =,27x =均符合题意答:x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.。

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