丰城中学2015-2016学年下学期高一期末考试试卷数 学（理科）本试卷总分值为150分考试时间为120分钟一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 学校教务处要从某班级学号为160-的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,482.在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于（ ）A ．23 B ．13- C ．14- D ．23- 3. 设10<<<b a ，则下列不等式成立的是（ ）A.33a b > B.11a b< C.1b a > D.()lg 0b a -< 4等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知53a =，510S =，则13a 的值是（ ） A.1 B.3 C.5 D.75.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为0.8155y x =-，后因某未知原因第5组数据模糊不清，如下表所示，则实数m 的值为（ ）x196 197 200 203 204y1367mA.8.3B.8.2C.8.1D.8 6．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a =3，则输入的a ，b 分别可能为 ( ) A ．15、18 B ．14、18 C ．13、18 D ．12、187. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310 B.15 C.110 D.1128.已知0,0>>y x ，且119x y ，则x y 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．29 D ．2119.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸C B ,的俯角分别为︒︒30,75，此时气球的高是m 60，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．m )13(30+B ．m )13(120-C ．m )12(180-D ．m )13(240-10.10111111111+224248242⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………… 的值为（ ） A ．9172 B ．10192 C ．111112 D ．10172 11.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若303aGA bGB cGC ++=，则角A =（ ）A.90B.60C.45D.30 12．数列}{n a 中，211=a ，n n n a a a -+=+111（其中*∈N n ），则使得72321≥++++n a a a a 成立的n 的最小值为 （ ）A ．236B ．238C ．240D ．242二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.不等式21031x x ->+的解集是________．14．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，︒=60B ,ABC ∆的面积为23，那么=b _________． 15.设(0,10]ω∈，则函数sin y x ω=在区间(,)36ππ-上是增函数的概率是 . 16．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ，2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使得不等式2220n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10分）已知函数2()(1)f x x a x a =-++，()(4)4,g x a x a a R =-+-+∈ （1）x R ∈，比较()f x 与()g x 的大小； （2）当()0,x ∈+∞时，解不等式()0f x >。

18.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11()n n n b n N a a *+=∈，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1143n T ≤<．19.（本题满分12分）已知函数x x x f 2cos )62sin()(++=π（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知23)(=A f ,2=a ,3π=B ，求ABC ∆的面积.20.（本题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,M p 及图中a 的值；（2）若该校高一学生有240人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.21.（本题满分12分）如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,3AC DC =．（1）若30DAC ∠=,求角B 的大小； （2）若2BD DC =,且2AD =,求DC 的长．22.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，2a a =（a 为非零常数），其前n 项和n S 满足1()()2n n n a a S n N +-=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2a =，且21114m n a S -=，求m n 、的值； （3）是否存在实数a b 、，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +≤的最大项恰为第32p -项？丰城中学2015-2016学年下学期高一期末考试答案数 学（理科）1-4 B C D D 5-8 D A A A 9-12 B B D B 13.11|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 142 15. 320 16.1(2,1][,1)2-- 17.（1）f(x)-g(x)=x 2+3x+4=(x+32)2+74>0 所以x R ∈时f(x)>g(x)------------------------------5分 (2)不等式可化为（x-1）(x-a)>0因为x>0所以①当a ≤0时，x>1,②当0<a ≤1时，0<x<a 或x>1,③当a>1时，0<x<1或x>a. -----------------------------------------------------10分18.【解析】（1）依题意，得21321232(1)12a a a a a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，即111(21)84a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，得2120d d +-=．0d >，∴13,1d a ==．∴数列{}n a 的通项公式13(1)32n a n n =+-=-．------5分（2）111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+，---------------------7分 ∴123111111[(1)()()]34473231n n T b b b b n n =++++=-+-++--+11(1)33131nn n =-=++．---------------------------------------------------9分 n N *∈，∴1031n >+，故13n T <，---------------------------------10分又n T 为单调递增，所以当1n =时，取最小值14，-----------------------11分故1143n T ≤<．---------------------------------------------------------12分 19.解：()sin(2)cos 26f x x x π=++=sin 2coscos 2sincos 266x x x ππ++=33sin 2cos 22x x +=133(sin 2cos 2)2x x +=3sin(2)3x π+ ……………………-----------------------------------------3分 令222232k x k πππππ-+≤+≤+⇒512312k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈()f x 的单调递增区间为：5[,],1212k k k ππππ-++∈……………----------------5分 （2）由31(),sin(2)232f A A π=+=，又20,3A π<<52,333A πππ<+< 因此5236A ππ+=，解得：4A π= ………………7分由正弦定理sin sin a BA B=，得6b =， 又由,43A B ππ==可得：62sin 4C +=……………10分 故 133sin 22ABC S ab C ∆+==…………12分 20.每小问4分21.解： （1）在△ABC 中,根据正弦定理,有sin sin AC DCADC DAC=∠∠. 因为3AC DC =,所以3sin 3sin 2ADC DAC ∠=∠=.------------------3分 又6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC 所以120ADC ∠=. 于是3030120180=--=∠C ,所以60B ∠=. ……………………6分（2）设DC x =,则2BD x =,3BC x =,3AC x =.-----------------------7分于是3sin 3AC B BC ==,6cos 3B =,.6x AB =--------------------------9分 在ABD ∆中,由余弦定理,得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅,即22226(2)6426223x x x x x =+-⨯⨯⨯= ,得1x =. 故 1.DC = ………12分 利用向量法计算同样给分。