• 解法二：时间单位＝半年。半年的实际利率为 j=4%, 取期末为比较日，则价值方程为
100(1 j )20 200(1 j )10 X 600(1 j )4
X 600 1.04 100 1.04 200 1.04
4 20 10
186.76
10000 [1 1%]n12 15000 (1.01)n12 1.5 log1.01 1.5 n 12 40.75
因此：需要n=3.4年
二、多次付款的未知时间问题。 不同时刻多次付款，而要求数值上等于这些付 款之和的一次付款未知时间。（等时间法） • 假设有两种投资方式
使存款翻倍的时间长度
年利率%
4 5 6 7 8
72定律（年）
18 14.4 12 10.29 9
准确值（年）
17.67 14.21 11.9 10.24 9.01
10
12 18
7.2
6 4
7.27
6.12 4.19
1.2.4 利率的计算
• 一、用带有指数和对数函数的计算器求i。 • 例5：投资1000元，在6年后累积到1600元，问每季 度计息的年名义利率为多少？ 解：价值方程为
1500vt 200v 400v3 300v5 600v8
3 5 8 200 v 400 v 300 v 600 v vt 0.785 1500
t=4.96年
20
ln(1 i) ln1.08 1.0395 0.69315 0.72 即t 0.72 72 i 100i
•比较日通过“一维时间图”表示： 比较日的选择：
时间沿一维正方向度量，付款则置于图的上部， – 期初和期末是两个特殊的比较日。其它中间时 而沿另一个方向的付款则在图的下部。比较期用 刻也可以作为比较日。 一个箭头表示。 – 复利计算，最终计算结果与比较日的选取无关。
100 0 1 200 2 3 4 5 500 6 7 8 9 10
1.2.2 价值方程
• 问题：多笔金融业务发生在不同时刻，如 何比较它们的价值？ • 在考虑利息问题时，在不同时刻支付的金 额是不能直接比较的。因为经历的时间不 同，资金金额的变化也不同，也就说，货 币具有时间性，这就是所谓的“货币的时 间价值”（time value of value）。
为了比较在不同时刻支付的金额，实际的做法是 将各个不同时刻的付款积累或折现到同一时刻， 再进行比较。这里提及的“同一时刻”常称为 “比较日”（comparison date）。
100 0 1 2 3 4 200 5 6 7 8 600 9 X 10
解法三：时间单位＝半年。我们取第5年末为比 较日。价值方程为
100v 10 200 Xv10 600v6
600v16 100v 10 200 X v10 600 0.53391 100 200(0.67556) 186.76 0.45639
i (4) 24 1000 [1 ] 1600 4 1 1600 i (4) 4[( ) 24 1] 0.0791 1000
每季度计息的年名义利率为7.91%。
二、用代数法求解价值方程中的i(一般用于n值较小的情形)
。
例6：某人在第2年末支付2000元的现值与第4年末支 付3000元的现值之和为4000元，问实际利率是多少？ 解：价值方程为
2000v 3000v 4000
2 4
3v4 2v2 4 0
2 2 2 4 3 4 2 v 0.868517 23 2 取正数则(1+i) v2 1.153388
实际利率为0.0730 %。
三、线性插值法。对于积累函数的计算公式：
A(t ) A(0)(1 i)t
三、“72”算法 在现实中经常会遇到利率给定的情况下，一笔投 资要多长时间才能翻倍。 i 0.08 设利率为 i，投资额为1，积累值为2，则： 1.0395,ln 2 0.69315
ln 2 ln 2 i (1+i) 2 t ln(1 i) i ln(1 i)
s1vt1 s2vt2 sn vtn ln s s s 1 2 n t ln(v)
• 解法二（等时间法）：作为近似，t 常用各个付款 时间的加权平均来计算，
s1t1 s2t2 sntn s1 sn t' t1 tn s1 s2 sn s s
等时间法
利率计算 实例分析
§1.2 利息基本计算
一个利息问题包含四个基本的量： 1.原始投资的本金 2.投资经过的时间 3.利率 期初/期末计息：贴现率/利率 计息方式：单利/复利 利息结转频率：实际利率、名义利率、利息力 4.本金在投资期末的累积值 其中任何三个量的值都可以决定第四个量的值.
1.2.1 时间单位的确定（非整数时间 问题）
银行家利息法则(Banker's Rule) “实际投资天数/360” 按实际的投资天数计算，但一年设为360天 说明：显然，该算法比上两种算法对贷款 方有利。 注：（1）除非特别说明，总是假定起息日 与到期日不能同时计入利息计算期； （2）不是所有的利息计算都需要计算 天数(如银行储蓄、债券交易会涉及投资天 数的计算），许多金融业务是自动依月、 季、半年或一年进行的。

这时，两个给定日期之间的天数的计算公式为
360(Y2 -Y1) + 30(M2 -M1)+ (D2 - D1) 其中，Y2、M2、D2分别代表支取日的年、月、日，而 Y1、M1、D1、则分别代表存入日的年、月、日。
例：存入日：1999 年3 月11 日 支取日： 2000 年6 月20 日 存期天数=360（2000–1999）+30（6-3）+（20- 11） = 360+90+9 = 459 例：存入日：1999 年6 月20 日 支取日：2000 年3 月11 日 存期天数=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20) =360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20) =0+240+21= 261 注：大月日历日30日与31日被视为同一天；二月当月存 入、当月取出的，按照实际存款天数计算，跨月存入、 取出的，则按照30天计算。
方式一：分别于 t1 , t2 , , tn 投入 s1 , s2 , , sn ； 方式二：在时刻 t 一次投入 s1 s2 sn元。 • 若这两种的投资价值相等，求时刻 t。
t1
s1
t2
s2
t t3 …… …… tn sn
s1 s2 sn
s3
• 解法一（精确解）：两者在时刻0的价值相等的价 值方程为 (s1 s2 sn )vt s1vt1 s2vt2 snvtn 得精确解为
t
0.72 72 以i=8%代入， 则可算得t i 100i
0.72 72 即当i在8%左右时，有近似公式：t i 100i 称此式为72算法。
72“定律”是一个著名的规律，一方面因为它的简单易 用，另一方面则是因为它在一个很大的利率范围内会产生较 准确的结果。下表中列出了一些数据。
x
解价值方程的有力工具------时间流程图
时间流程图：用一条直线表示时间（从左到右），上面 的刻度为事先给定的时间单位，发生的现金流量写在对应时 间的上方或下方（一般同一流向的现金流写在同一方）。
100
0
1
100
2
100
3
x
4
500

上图表示某人先取得(借贷)500元，按分期付款 偿还.第一、二、三时期末各付100元，第四时 期末需付多少？符号 " " 表示比较日期。
t
利息理论
——利息基本计算
• 教学目的：通过本节的学习， 使学生会用时间图建立价值方 程，从而求出原始投资的本金 、投资时期的长度、利率或本 金在投资期末的积累值。 • 教学方法：多媒体演示与黑板 板书相结合
2016/12/29 3
Contents
One Two Three Four Five 时间单位的确定 价值方程
t f ( i ) A (0)(1 i ) A(t ) 令
若A(0), A(t )和t均已知, 求得一个i使得方 程为0,则相应的i就是所要确定的未知利率
线性插值方法如下：
先取i1和i2 , i1 i2 , f (i1 i2 0 必存在i0使得f (i0 ) 0, 并且i1 i0 i2
• 例2： 某人愿意立即支付100元，第5年末支付200 元，第10年末再支付X 元。作为回报，他在第8年 末得到600元。假定半年结算一次的年名义利率为 8％。请计算第10年末他应该支付多少？ • 解法一：时间单位＝半年。取期初为比较日。则 半年的实际利率为4％，贴现因子为 v (1 0.04)1 ， 价值方程为
精确利息计算(exact simple or compound interest) “实际投资天数/年实际天数”(Actual/Actual) 按实际的投资天数计算，一年为365 天 普通利息计算(Ordinary simple/compound interest) ，一般用“30/360” 假设每月有30天，一年为360天
100 200v10 Xv20 600v16
100 0 1 2 3 4 200 5 6 7 8 600 9 X 10
• 解得
600v16 100 200v0 X v 20
600 0.53391 100 200(0.67556) 186.76 0.45639