2020-2021学年第一学期期末测试人教版八年级数学试题一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.2.在下列长度的四根木棒中，能与4cm ，9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）A. 3cmB. 8cmC. 13cmD. 16cm 3.下列运算不正确的是（ ）A. 235a a a ⋅=B. ()4312y y =C. 33(2)8x x -=-D. 3362x x x += 4.如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，60ADC ∠=︒，则BAD ∠的度数等于（ ）A. 10︒B. 15︒C. 30D. 45︒ 5.若把分式xy x y+的x 和y 都扩大到原来5倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来的5倍 B. 不变C. 缩小到原来的15倍 D. 扩大到原来的25倍 6.计算232(2)3x y xy -⋅结果正确的是（ ）A. 266x y -B. 356x y -C. 355x y -D. 7524x y -7.随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm 2，0.00000065用科学计数法表示为A. 6.5×107B. 6.5×10－6C. 6.5×10－8D. 6.5×10－7 8.如图，△ABC ≌△DCB ，点A 和点D 是对应点，若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝7cm ，则DB 的长为（ ）A. 6cmB. 8cmC. 7cmD. 5cm9.如图，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，CD CA =，D 在BC 上，45ADE ∠=︒，E 在AB 上，则BED ∠的度数是（ ）A. 60︒B. 75︒C. 80︒D. 85︒ 10.如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）A. 60B. 16C. 30D. 11 二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.要使分式325x x -+有意义，x 的取值应满足_________． 12.计算112-⎛⎫ ⎪⎝⎭= ____________ . 13.如图，线段BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 和点E ，连接CD ，AC DC =，25B ∠=︒，则ACD ∠的度数是_____________︒．14.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ⊥AB ，垂足是D ，若AB=8cm ，则AD=__cm.15.若n 边形的内角和是它的外角和的2倍，则n = .16.如图，ABC ∆中，8AB cm =，BC 10cm =，BD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥于点E ，若4DE cm =，则ABC ∆的面积为__________2cm ．三、解答题(本题4小题，其中17题、18题、19题各10分，20题9分，共39分)17.计算：29(2)(32)(32)x x x --+-．18.先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中5x =． 19.解方程：213224x x x =+--． 20.如图，射线BD 平分ABC ∠，ADE CDE ∠=∠，求证：AD CD =．四、解答题(本大题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点的坐标为(3,4),(1,2),(5,1)A B C ．（1）直接写出,,A B C 关于y 轴对称的点111,,A B C 的坐标：1A ；1B ；1C ； （2）若ABC ∆各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，请直接写出对应点2A ，2B ，2C 的坐标，并在坐标系中画出222A B C ∆．22.小丽和爸爸进行1200米竞走比赛，爸爸的速度是小丽的1.5倍，小丽走完全程比爸爸多用5分钟，小丽和爸爸每分钟各走多少米？23.数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下探究过程；（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形(如图1)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．（2）小白的想法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形(如图2)，再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，长方形ABCD 中，//AB CD ，90D ∠=︒，AB CD =，4AD cm =，点P 从点D 出发(不含点D )以2/cm s 速度沿D A B →→的方向运动到点B 停止，点P 出发1s 后，点Q 才开始从点C 出发以/acm s 的速度沿C D →的方向运动到点D 停止，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点D ．（1）当点P 到达点A 时，CPQ ∆的面积为23cm ，求CD 的长；（2）在（1）的条件下，设点P 运动时间为()t s ，运动过程中BPQ ∆的面积为2)(S cm ，请用含()t s 的式子表示面积2)(S cm ，并直接写出t 的取值范围．25.平面直角坐标系中，点A 坐标为(0,2)-，,B C 分别是x 轴，y 轴正半轴上一点，过点C 作//CD x 轴，3CD =，点D 在第一象限，32ACD AOB S S ∆∆=，连接AD 交x 轴于点E ，45BAD ∠=︒，连接BD ． （1）请通过计算说明AC OB =；（2）求证ADC ADB ∠=∠； （3）请直接写出BE 的长为 ．26.阅读材料：如图1，ABC ∆中，点D ，F 在边AB 上，点E 在BC 上，BD BE =，ADC α∠=，1802BEF α∠=︒-，延长CA ，EF 交于点G ，GA GF =，求证：AD EF =．分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．①小明想法是：将BE 放到BEF ∆中，沿等腰BDE ∆的对称轴进行翻折，即作BDH BEF ∠=∠交BC 于H (如图2)②小白的想法是：将BD 放到BDC ∆中，沿等腰BDE ∆的对称轴进行翻折，即作BEH BDC ∠=∠交BD 的延长线于H (如图3)经验拓展：等边ABC ∆中，D 是AC 上一点，连接BD ，E 为BD 上一点，AE AD =，过点C 作CF BD ⊥交BD 的延长线于点F ，60ECF ∠=︒，若BE a =，DF b =，求DE 的长(用含a ，b 的式子表示)．答案与解析一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可．【详解】A、不是轴对称图形，则此项符合题意B、是轴对称图形，则此项不符题意C、是轴对称图形，则此项不符题意D、是轴对称图形，则此项不符题意故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．2.在下列长度的四根木棒中，能与4cm，9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A. 3cmB. 8cmC. 13cmD. 16cm【答案】B【解析】【分析】首先设第三根木棒长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得9−4＜x＜9＋4，计算出x的取值范围，然后可确定答案．【详解】设第三根木棒长为xcm，由题意得：9−4＜x＜9＋4，5＜x＜13，故选B．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．3.下列运算不正确的是（ ）A. 235a a a ⋅=B. ()4312y y =C. 33(2)8x x -=-D. 3362x x x += 【答案】D【解析】【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算，然后选择正确选项．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，计算正确，故本选项错误；B. ()4312y y =，计算正确，故本选项错误；C. ()3328x x -=-，原式计算正确，故本选项错误；D. 3336=22x x x x +≠，计算错误，故本选项正确.故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键． 4.如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，60ADC ∠=︒，则BAD ∠的度数等于（ ）A. 10︒B. 15︒C. 30D. 45︒【答案】B【解析】【分析】 先根据等腰三角形的性质可求出B 的度数，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】90,C AC BC ∠=︒=1(18090)452B BAC ∠=∠=︒-︒=∴︒ 60,ADC ADC B BAD ∠=︒∠=∠+∠604515BAD ADC B ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟记各性质是解题关键． 5.若把分式xy x y +的x 和y 都扩大到原来5倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来的5倍B. 不变C. 缩小到原来的15倍 D. 扩大到原来的25倍 【答案】A【解析】【分析】 将原分式中的x 和y 都变为5x 和5y ，再进行化简即可得． 【详解】由题意，将原分式改写为55255555()x y xy xy x y x y x y⋅==+++ 因此，分式的值扩大到原来的5倍故选：A ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，理解题意，掌握分式的基本性质是解题关键． 6.计算232(2)3x y xy -⋅结果正确的是（ ）A. 266x y -B. 356x y -C. 355x y -D. 7524x y -【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】232(2)3x y xy -⋅ 21326x y ++=-356x y =-故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟记运算法则是解题关键．7.随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm 2，0.00000065用科学计数法表示为A. 6.5×107 B. 6.5×10－6 C. 6.5×10－8 D. 6.5×10－7 【答案】D【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：70.00000065 6.510-=⨯．故答案为D ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8.如图，△ABC ≌△DCB ，点A 和点D 是对应点，若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝7cm ，则DB 的长为（ ）A. 6cmB. 8cmC. 7cmD. 5cm【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的性质即可求出：AC ＝BD ＝7cm.【详解】解：∵△ABC ≌△DCB ，AC ＝7cm ，∴AC ＝BD ＝7cm ．故选C ． 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键.9.如图，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，CD CA =，D 在BC 上，45ADE ∠=︒，E 在AB 上，则BED ∠的度数是（ ）A. 60︒B. 75︒C. 80︒D. 85︒【答案】B【解析】【分析】 先根据直角三角形两锐角互余求出60C ∠=°，从而可知ADC ∆是等边三角形，再由等边三角形的性质可求出60CAD ∠=︒，从而可得30DAE ∠=︒，最后根据三角形的外角性质即可得．【详解】90,30BAC B ∠=︒∠=︒9006B C ︒-∠∴=∠=︒CD CA =ADC ∴∆是等边三角形，60CAD ∠=︒30BAC DAE CAD =∠∴-=∠∠︒45ADE ∠=︒375450AD BED DAE E ∠=∴∠=︒∠+︒+=︒故选：B ．【点睛】本题是一道较为简单的综合题，考查了直角三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟记并灵活运用各性质是解题关键．10.如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）A. 60B. 16C. 30D. 11【答案】C【解析】【分析】先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．【详解】∵矩形的周长为10，∴a+b=5，∵矩形的面积为6，∴ab=6，∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30．故选C ．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.要使分式325x x -+有意义，x 的取值应满足_________．【答案】5x ≠-【解析】【分析】根据分式的分母不能为0即可得．【详解】由分式的分母不能为0得：50x +≠解得：5x ≠-故答案为：5x ≠-．【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分式的分母不能为0，熟记分式的相关概念及性质是解题关键．12.计算112-⎛⎫ ⎪⎝⎭= ____________ . 【答案】2【解析】 根据负指数幂的意义可知：1122-⎛⎫= ⎪⎝⎭（ “倒底数，反指数”）. 故应填:2. 13.如图，线段BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 和点E ，连接CD ，AC DC =，25B ∠=︒，则ACD ∠的度数是_____________︒．【答案】80【解析】【分析】先根据垂直平分线的性质可得DC DB =，再根据等腰三角形的性质可得BCD ∠的度数，从而可得ADC ∠的度数，最后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得．【详解】由题意得，DE 为BC 的垂直平分线DC DB ∴=25BCD B ∴∠=∠=︒50ADC BCD B ∴∠=∠+∠=︒AC DC =50A ADC ∴∠=∠=︒180180505080ACD A ADC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：80．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）、三角形的内角和定理等知识点，熟记等腰三角形的性质是解题关键．14.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ⊥AB ，垂足是D ，若AB=8cm ，则AD=__cm.【答案】2【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可求出AC 的长，由锐角互余的关系可得∠ACD=∠B=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质求出AD 的长即可.【详解】∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8cm ，∴AC=12AB=4， ∵∠B+∠A=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B=30°，∴AD=12AC=2. 故答案为2【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 15.若n 边形的内角和是它的外角和的2倍，则n = . 【答案】6【解析】此题涉及多边形内角和和外角和定理多边形内角和=180（n-2）, 外角和=360º所以，由题意可得180(n-2)=2×360º解得：n=616.如图，ABC ∆中，8AB cm =，BC 10cm =，BD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥于点E ，若4DE cm =，则ABC ∆的面积为__________2cm ．【答案】36【解析】【分析】如图（见解析），由角平分线的性质可得DF DE =，再根据ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+即可得．【详解】如图，过点D 作DF BC ⊥由题意得，BD 是ABC ∠的角平分线,4DE AB DE cm ⊥=4DF DE cm ∴==8,10AB cm BC cm ==1122ABC ABD BCD S S S AB DE BC DF ∆∆∆∴=+=⋅+⋅ 118410422=⨯⨯+⨯⨯ 1620=+36=故答案为：36．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题关键．三、解答题(本题4小题，其中17题、18题、19题各10分，20题9分，共39分) 17.计算：29(2)(32)(32)x x x --+-．【答案】3640x -+．【解析】【分析】先利用完全平方差公式：222()2a b a ab b -=-+、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-展开多项式，再进行整式的加减：合并同类项即可得．【详解】原式()()2294494x x x =-+--． 229363694x x x =-+-+3640x =-+．【点睛】本题考查了完全平方差公式、平方差公式、整式的加减，熟记各公式与运算法则是解题关键．18.先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中5x =． 【答案】13x x -+，12． 【解析】【分析】先计算括号内的分式的减法、将除法转换为乘法，再计算分式的乘法，最后将x 的值代入求解即可．【详解】原式22(1)1(1)(1)11(3)x x x x x x x +-+-⎛⎫=-⋅ ⎪+++⎝⎭ 2221(1)(1)1(3)x x x x x x +-++-=⋅++ 23(1)(1)1(3)x x x x x ++-=⋅++ 13x x -=+ 当5x =时，原式1514135382x x --====++． 【点睛】本题考查了分式的乘除法、减法运算，熟记各运算法则是解题关键．19.解方程：213224x x x =+--． 【答案】112x =． 【解析】【分析】先方程两边2(2)x -将分式方程化为一元一次方程，再根据一元一次方程的解法步骤解方程即可得．【详解】方程两边乘2(2)x -，得46(2)1x x =-+去括号，得46121x x =-+移项合并同类项，得211x -=-系数化为1，得112x =经检验，112x =是原方程的解 故原分式方程的解为112x =． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟记方程的解法是解题关键．需注意的是，求出解后一定要代入分式方程进行检验．20.如图，射线BD 平分ABC ∠，ADE CDE ∠=∠，求证：AD CD =．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据角平分线的定义得出ABD CBD ∠=∠，再根据三角形的外角性质得出A C ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】证明：BD 平分ABC ∠ABD CBD ∴∠=∠ ADE CDE ∠=∠A ABD C CBD ∴∠+∠=∠+∠A C ∴∠=∠在ABD ∆和CBD ∆中，A C ABD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD CBD AAS ∴∆≅∆AD CD ∴=．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质等知识点，依据角平分线的定义得出ABD CBD ∠=∠是解题关键．四、解答题(本大题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点的坐标为(3,4),(1,2),(5,1)A B C ．（1）直接写出,,A B C 关于y 轴对称的点111,,A B C 的坐标：1A ；1B ；1C ； （2）若ABC ∆各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，请直接写出对应点2A ，2B ，2C 的坐标，并在坐标系中画出222A B C ∆．【答案】（1）(3,4);(1,2);(5,1)---（2）222(3,4),(1,2),(5,1)A B C ---；图见解析．【解析】【分析】（1）根据点坐标关于y 轴对称的规律即可得；（2）根据“横坐标不变，纵坐标都乘以1-”可得点222,,A B C 坐标，再在平面直角坐标系中描出222,,A B C 三点，然后顺次连接即可得222A B C ∆．【详解】（1）在平面直角坐标系中，点坐标关于y 轴对称的规律为：横坐标变为相反数，纵坐标不变 (3,4),(1,2),(5,1)A B C111(3,4),(1,2),(5,1)A B C ∴---故答案为：()3,4-；(1,2)-；(5,1)-；（2）横坐标不变，纵坐标都乘以1-222(3,4),(1,2),(5,1)A B C ∴---在平面直角坐标系中，先描出222,,A B C 三点，再顺次连接即可得222A B C ∆，结果如图所示：【点睛】本题考查了点坐标关于y轴对称的规律、在平面直角坐标系中画三角形，熟练掌握平面直角坐标系中，点的坐标变换规律是解题关键．22.小丽和爸爸进行1200米竞走比赛，爸爸的速度是小丽的1.5倍，小丽走完全程比爸爸多用5分钟，小丽和爸爸每分钟各走多少米？【答案】小丽每分钟走80米，爸爸每分钟走120米【解析】【分析】根据题意设小丽每分钟走x米，则爸爸每分钟走1.5x米，列出方程，解方程并检验，得到答案．【详解】解：设小丽每分钟走x米，则爸爸每分钟走1.5x米12001200-=51.5x xx=7.5600x=80x=是原方程的根，并符合题意经检验，80x=米1.5800答：小丽每分钟走80米，爸爸每分钟走120米.【点睛】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．23.数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程；（1）小明的想法是：将边长为a的正方形右下角剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．（2）小白的想法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形(如图2)，再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．【答案】(1）证明见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）先根据方式一：①+②的面积等于两个正方形的面积之差；方式二：①+②的面积等于两个直角梯形的面积之和；然后根据方式一和方式二计算的面积相等即可验证平方差公式；（2）如图（见解析），先根据方式一：①+②+③+④的面积等于两个正方形的面积之差；方式二：①+②+③+④的面积等于四个长方形的面积之和，然后根据方式一和方式二计算的面积相等即可验证平方差公式．【详解】（1）方式一：①+②的面积等于两个正方形的面积之差则①+②的面积为22a b -方式二：①+②面积等于两个直角梯形的面积之和则①+②的面积为()()()()22a b a b a b a b a b a b ++⋅-+⋅-=+- 由方式一和方式二的面积相等可得：22()()a b a b a b -=+-；（2）如图，方式一：①+②+③+④的面积等于两个正方形的面积之差则①+②+③+④的面积为22a b -方式二：①+②+③+④的面积等于四个长方形的面积之和①+②的面积为()a a b -③+④的面积为()b a b -则①+②+③+④的面积为()()()()a a b b a b a b a b -+-=+-由方式一和方式二的面积相等可得：22()()a b a b a b -=+-．【点睛】本题考查了利用特殊四边形的面积验证平方差公式，掌握理解平方差公式是解题关键．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，长方形ABCD 中，//AB CD ，90D ∠=︒，AB CD =，4AD cm =，点P 从点D 出发(不含点D )以2/cm s 的速度沿D A B →→的方向运动到点B 停止，点P 出发1s 后，点Q 才开始从点C 出发以/acm s 的速度沿C D →的方向运动到点D 停止，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点D ．（1）当点P 到达点A 时，CPQ ∆的面积为23cm ，求CD 的长；（2）在（1）的条件下，设点P 运动时间为()t s ，运动过程中BPQ ∆的面积为2)(S cm ，请用含()t s 的式子表示面积2)(S cm ，并直接写出t 的取值范围．【答案】（1）6cm ；（2）212013915122220425t S t t t tt <≤⎧⎪⎪=-+<≤⎨⎪-<≤⎪⎩． 【解析】【分析】（1）先求出点P 到A 的时间，再根据CPQ ∆的面积可求出a 的值，然后根据“当点P 到达点B ，点Q 恰好到点D ”列出等式求解即可得；（2）分三种情况：点P 在线段AD 上，点Q 未出发；当P 在线段AD 上，点Q 在线段CD 上；当P 在线段AB 上，点Q 在线段CD 上；然后分别利用长方形的性质、三角形的面积公式求解即可得．【详解】（1）点P 到A 的时间为42()22AD s ==，此时(21)CQ a a =-= 1142322CPQ S CQ AD a a ∆∴=⋅=⋅== 3 1.52a ∴== 设AB CD x ==当点P 到达点B ，点Q 恰好到点D412 1.5x x +=+∴ 解得6x =6()CD cm ∴=故CD 的长为6cm ；（2）依题意，分以下三种情况讨论：①当01t <≤时，点P 在线段AD 上，点Q 未出发如图1，过点P 作PM BC ⊥于点M11•461222BPQ S BC PM ∆∴==⨯⨯=②如图2，当412t <≤，即12t <≤时，点P 在线段AD 上，点Q 在线段CD 上 则2DP t =，42AP t =-33333153(1),62222222CQ t t DQ t t ⎛⎫=-=-=--=- ⎪⎝⎭ BPQ ABP DPQ BCQ ABCD S S S S S ∆∆∆∆∴=---长方形11153133466(42)242222222t t t t ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⋅--⨯⋅--⨯⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2391522t t =-+③当4622t +<≤，即25t <≤时，点P 在线段AB 上，点Q 在线段CD 上 如图3，过点Q 作QM AB ⊥于点M则462102PB t t =+-=-114(102)20422BPQ S BP QM t t ∆=⋅=⨯⋅-=-∴综上，212013915122220425t S t t t tt <≤⎧⎪⎪=-+<≤⎨⎪-<≤⎪⎩．【点睛】本题考查了函数的几何应用、三角形与长方形的性质等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．25.平面直角坐标系中，点A 坐标为(0,2)-，,B C 分别是x 轴，y 轴正半轴上一点，过点C 作//CD x 轴，3CD =，点D 在第一象限，32ACD AOB S S ∆∆=，连接AD 交x 轴于点E ，45BAD ∠=︒，连接BD ． （1）请通过计算说明AC OB =；（2）求证ADC ADB ∠=∠； （3）请直接写出BE 的长为 ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5BE =．【解析】【分析】（1）先根据点A 坐标可得OA 的长，再根据32ACD AOB S S ∆∆=即可得证； （2）如图（见解析），延长DC 至点H ，使得CH OA =，连接AH ，先根据三角形全等的判定定理与性质可得,12,AH AB H CAB =∠=∠∠=∠，再根据直角三角形的性质和45BAD ∠=︒得出45HAD BAD ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（3）先由题（2）两个三角形全等可得5BD DH ==，再根据平行线的性质得出3ADC ∠=∠，从而有3ADB ∠=∠，然后根据等腰三角形的定义（等角对等边）即可得．【详解】（1）(0,2)A -2OA ∴=11,,3,3222ACD OAB ACD AOB S CD AC S O S S OB CD A ∆∆∆∆=⋅==⋅= 131222CD AC OA OB ⋅=⨯⋅∴，即31322221AC OB ⨯=⨯⨯ AC OB =∴；（2）如图，延长DC 至点H ，使得CH OA =，连接AHOB AC =，//CD x 轴90HCA AOB ∴∠=∠=︒()ACH BOA SAS ∆≅∆∴,12,AH AB H CAB =∠=∠∠=∠∴190H ︒∠+∠=190CAB ∠+∠=︒∴45BAD ∠=︒ 45HAD BAD ∴∠=∠=︒()HAD BAD SAS ∴∆≅∆ADH ADB ∴∠=∠，即ADC ADB ∠=∠；（3）由（2）已证，,325HAD BAD ADC ADB DH CD CH CD OA ∆≅∆∠=∠⎧⎨=+=+=+=⎩5BD DH ∴==//CD x 轴3ADC ∴∠=∠3ADB ∴∠=∠5BE BD ∴==（等角对等边）故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的定义、平行线的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．26.阅读材料：如图1，ABC ∆中，点D ，F 在边AB 上，点E 在BC 上，BD BE =，ADC α∠=，1802BEF α∠=︒-，延长CA ，EF 交于点G ，GA GF =，求证：AD EF =．分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．①小明的想法是：将BE 放到BEF ∆中，沿等腰BDE ∆的对称轴进行翻折，即作BDH BEF ∠=∠交BC 于H (如图2)②小白的想法是：将BD 放到BDC ∆中，沿等腰BDE ∆的对称轴进行翻折，即作BEH BDC ∠=∠交BD 的延长线于H (如图3)经验拓展：等边ABC ∆中，D 是AC 上一点，连接BD ，E 为BD 上一点，AE AD =，过点C 作CF BD ⊥交BD 的延长线于点F ，60ECF ∠=︒，若BE a =，DF b =，求DE 的长(用含a ，b 的式子表示)．【答案】①证明见解析；②证明见解析；[经验拓展]2ED a b =-．【解析】【分析】阅读材料：①先根据三角形全等的判定定理得出BEF BDH ∆≅∆，再根据三角形全等的性质可得,BFE BHD EF DH ∠=∠=，又根据角的和差、等腰三角形的性质得出两组相等的角,HDC ADC DAC DHC α∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD DH =，最后根据等量代换即可得证；②先根据三角形全等的判定定理得出HBE CBD ∆≅∆，再根据三角形全等的性质可得,EH CD CDB HEB =∠=∠，又根据角的和差、等腰三角形的性质得出两组相等的角,FEH ADC DAC EFH ∠=∠∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD EF =，即得证； 经验拓展：先根据等腰三角形的性质、邻补角的定义得出AEB ADH ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质得出13,24,AH AB ∠=∠∠=∠=，设132α∠=∠=，根据等腰三角形的性质、等边三角形的性质分别求出460,90AHC αα∠=︒-∠=︒-，然后根据角的和差可得30EHC ∠=︒，最后根据等腰三角形的判定与性质得出EF FH a b ==-，从而根据线段的和差即可得出答案．【详解】阅读材料：①小明做法：作=BDH BEF ∠∠交BC 于H ，则1802BDH BEF α∠=∠=︒- BD BE =，B B ∠=∠()BEF BDH ASA ∆≅∆∴,BFE BHD EF DH ∠=∠=∴1802ADH BDH α∠=︒-∠=∴ADC α∠=HDC ADC α∠=∠=∴GA GF =GAF GFA BFE BHD ∠=∠=∠=∠∴180180GAF BHD ∴︒-∠=︒-∠，即DAC DHC ∠=∠ CD CD =()ADC HDC AAS ∆≅∆∴AD DH =∴AD EF ∴=；②小白做法：作BEH BDC ∠=∠交BD 的延长线于H ,BD BE B B =∠=∠()HBE CBD ASA ∆≅∆∴,EH CD CDB HEB =∠=∠∴180180CDB HEB ∴︒-∠=︒-∠，即ADC CEH α∠=∠= 1802BEF α∠=︒-()1801802FEH a αα∠=︒-︒--=∴FEH ADC ∠=∠∴GA GF =GAF GFA ∠=∠∴180180GAF GFA ∴︒-∠=︒-∠，即DAC EFH ∠=∠ ()ADC FEH AAS ∆≅∆∴AD EF ∴=；经验拓展：延长BF 至点H ，使得DH BE a ==，连接,AH CH AE AD =AED ADE ∴∠=∠AEB ADH ∠=∠∴()AEB ADH SAS ∆≅∆∴13,24,AH AB ∠=∠∠=∠=∴ABC ∆是等边三角形，设132α∠=∠= 5602α∠=︒-∴1(1802605)AED ADE α∴∠=∠=︒-∠=︒+ 2460260ααα∠=∠=︒+-=︒-∴,AH AB AB AC ==AH AC ∴=1(1803)902ACH AHC α∠=∠=︒-∠=︒-∴ ()4906030EHC AHC αα︒︒∠=∠-∠=---=︒∴ ,60CF BD ECF ⊥∠=︒9030CEH ECF ∴∠=︒-∠=︒30EHC CEH ∴∠=∠=︒CE CH∴=∴∆是等腰三角形CEH==-=-∴（等腰三角形的三线合一）EF FH DH DF a b=-=--=-∴．2DE EF DF a b b a b【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．精品试卷。