t (a) 求A的特征值：fA (λ) = (λ − λ1 )n1 (λ − λ2 )n2 · · · (λ − λn t , λ1 , · · · , λt 是A 的全
部不同特征值. ni ≤ 1, n1 + · · · + nt = n. (b) 求Vλi = {x ∈ C n | (λi I − A)x = 0 } 的基，即(λi I − A)x = 0的基础解系，其 所含基向量的个数为mi = n − rank (λi I − A). 若有i 使得mi ̸= ni , 则A 不可对角化. 否则，对任意i, 有mi = ni 成立,则A可对 角化. (c) 设αi1 , · · · , αi,ni 是Vλi 的一组基，则α11 , · · · , α1,n1 · · · , αt1 , · · · , αt,nt 是C n 的一组 基. 令P = (α11 , · · · , α1n1 , · · · , αt1 , · · · , αtnt ), 则AP = P diag (λ1 In1 , λ2 In2 , · · · , λt Int ), λ1 In1 λ2 In2 −1 即：P AP = .. . λt Int 5. 例子 ( (a) 证明秩为r的n阶幂等方阵(A = A)相似于对角方阵
4 3. 可对角化的矩阵 A ∈ Mn×n (C ), λ1 , · · · , λt 是A的全部特征根（在复数域中） ，Vλi 是其特征子空间. 则有： (a) Vλi 是σA −不变子空间； (b) dimVλi ≤ nλi , nλi 是λi 的代数重数. (c) A 可对角化的充分必要条件是对每个特征根λi , 其几何重数等于代数重数. 4. 判断给定复矩阵A是否可对角化的步骤（在复数域C 上） ，并求出P ,使得P −1 AP 是 对角形矩阵.
. 则a11 , · · · , ann 是A的 ∗ akk
1 0 注.具有相同的极小多项式的方阵不一定相似，例A = 0 0 1 0 B= 0 1 0
8 mA (λ) = λ2 , mB (λ) = λ2 , 但A, B 不相似（因秩不同）. 定理. c是dA (λ)的根当且仅当c是A的特征多项式fA (λ)的根. 四 线性变换的特征多项式，极小多项式. 定义. 设σ 在V 的基α1 , · · · , αn 下的矩阵是A, 称A的特征多项式|λI − A|为线性变 换σ 的特征多项式. 定理.(Caley-Hamilton定理）设n维线性变换σ 的特征多项式fσ (λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 , 则fσ (σ ) = σ n + an−1 σ n−1 + · · · + a1 σ + a0 I = 0. 定义. 设0 ̸= f (λ) ∈ C [λ], 若g (σ ) = 0, 则称g (λ)是σ 的一个化零多项式. 称σ 的化零多 项式中首1的次数最低的多项式为σ 的极小多项式(又称最小多项式）. 性质. (a) σ 的极小多项式整除其化零多项式.特别地mσ (λ)|fσ (λ). (b) σ 的极小多项式唯一存在，记为mσ (λ). 定理. 设σ : V → V 是线性变换, W1 , W2 是σ −不变子空间且V = W1 ⊕ W2 . 记σi = σ |Wi , i = 1, 2, 它们分别是Wi 上的线性变换. 则有 1. fσ (λ) = fσ1 (λ)fσ2 (λ). 2. mσ (λ) = [mσ1 (λ), mσ2 (λ)], 即σ 的极小多项式是σ1 , σ2 的极小多项式的最小公倍 式. 上面结论可以推广为： 设σ : V → V 是线性变换, W1 , W2 , · · · , Wk 是σ −不变子空间且V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk . 记σi = σ |Wi , i = 1, · · · , k , 它们分别是Wi 上的线性变换. 则有 ∏i=k 1. fσ (λ) = i=1 fσi (λ). 2. mσ (λ) = [mσ1 (λ), · · · , mσk (λ)], 即σ 的极小多项式是σ1 , · · · , σk 的极小多项式的最 小公倍式. 五 根子空间 设σ : V → V 是线性变换, λ0 是σ 的一个特征根.
2
Ir 0
0 0
) .
(b) 试判断下面方阵是否可对角化，如可对角化，试求出可逆矩阵 P . (1). A = 3 1 0 −4 −1 0 4 −8 −2
5 (2). A = −4 −1 4 3 1 0 0 −8 −2
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第二节：根子空间(I)
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第九章：JLeabharlann rdan标准形引子V 是C（复数域）上n维向量空间，σ ∈ L(V ), 设σ 在V 的基α1 , · · · , αn 下的矩阵为A, 即： (σ (α1 ), · · · , σ (αn )) = (α1 , · · · , αn )A. 主要研究问题: 1. 对于给定σ , 找出V 的一组“好基”使得σ 在这组基下的矩阵最简单. 等价地：2：在集合{P −1 AP | P 可逆 }中找出最简单的矩阵。这个集合是A的相似等 价类，常记为[A]. 本章的目的是解决上面问题，即从每一等价类[A]中找出一个比较简单的矩阵作为代 表元，他们组成代表元的集合S . 这样任意同阶方阵均与集合S 中的某一个矩阵相似。这 一类比较简单的矩阵将被称为“相似标准形”. 为达到这一目的，我们分两步： I。找出相似矩阵的不变量（即在相似下保持的量，如特征多项式，秩等） ，这些不 变量不仅在相似关系下保持不变，而且足以判定两个矩阵是否相似（称这样的不变量为 全系不变量）. II。找出一类比较简单的矩阵，利用相似关系的全系不变量就可以判断每一个矩阵 与这类矩阵中的某一个相似. 解决上面问题，达到目的I，II，我们有两种方法： 几何方法： 对线性变换σ , 利用空间分解，将V 尽可能分解成一些σ −不变子空间的 直和，从这些不变子空间找出一组基，合在一起，得到V 的一组基，σ 在此基下的矩阵就 具有最简单的形式. 注：两个特殊情形，我们已知道： 1）.当V 尽可能分解成一些σ −不变子空间的直和时，若这些不变子空间均是一维子 空间，从这些一维不变子空间找出一个非零向量（是基） ，合在一起，得到V 的一组基， σ 在此基下的矩阵是对角形矩阵. 2）.如果σ 是幂零变换，且σ n = 0,但σ n−1 ̸= 0(意为σ 的幂零指数为n)，则可找到向 量α ∈ V , 使得σ n (α) = 0, σ n−1 (α) ̸= 0. 我们曾证明σ n−1 (α), · · · , σ (α), α是V 的基，σ 在
2 此基下的矩阵为： 1 .. . . 0 1 0
0
1 0 .. .
代数方法: 利用λ−矩阵.
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第一节：可对角化矩阵
所有的讨论都是在复数域C上，即F = C. 设σ ∈ L(V ), dimV = n. 1. 几何重数与代数重数. 设λ0 是σ 的一个特征根, Vλ0 = {α ∈ V | σ (α) = λ0 α } 是σ 的属于λ0 的特征子空间. 定义. 称dimVλ0 是λ0 的几何重数，记为mλ0 ; σ 的特征多项式ϕσ (λ)的根λ0 的重数 （记为nλ0 ),称为λ0 的代数重数. 定理. σ 的特征根的几何重数不超过代数重数. 设fσ (λ) = (λ − λ1 )n1 (λ − λ2 )n2 · · · (λ − λt )nt , λ1 , · · · , λt 是σ 的全部不同特征值. ni ≥ 1, n1 + · · · + nt = n. Vλi 是σ 的属于λi 的特征子空间. 则有：dimVλi = mi ≤ ni . 定理. 特征子空间Vλ1 , · · · , Vλt 的和是直和. 即Vλ1 + · · · + Vλt = Vλ1 ⊕ · · · ⊕ Vλt . 2. 可对角化线性变换 定义. σ ∈ L(V ), 如果V 中存在一组基，使得σ 在这组基下的矩阵是对角型矩阵，则 称σ 是可对角化线性变换. 定理. 设λ1 , · · · , λt 是ϕσ (λ)的全部根（在复数域中）. 则σ 可对角化的充分必要条件 是对每个i, λi 的几何重数等于代数重数. 定义. 设α1 , · · · , αn 是V 的一组基，若每个αi 都是σ 的特征向量，则称此基α1 , · · · , αn 是σ 的 完全特征向量组. 定理. σ 可对角化的充分必要条件是V 中存在一组σ 的完全特征向量组. 定理.若σ 在F 中有n个不同的特征值，则σ 可对角化.
V 是C上n维向量空间, σ ∈ L(V ), λ0 是σ 的特征值. I : V → V 恒等变换. 一 不变子空间 定义 设σ : V → V 是线性变换，W 是V 的子空间，如σ (W ) ⊆ W , 则称W 是σ −不变 子空间. {o}, V , Imσ , Kerσ 等都是σ −不变子空间。 引理. 设W 是σ −不变子空间，则σ −在W 上的限制σ |W : W → W 是W 上的线性变换. 定理. 设σ : V → V 是线性变换; W 是V 的子空间，设α1 , · · · , αt 是W 的基，( α1 , · · · , αt , · · ·) , αn 是V 的 A11 A12 基。则W 是σ −不变子空间当且仅当σ 在这组基下的矩阵具有准上三角形式 . 0 A22 此时A11 是σ |W 在W 的基α1 , · · · , αt 下的矩阵. 注. 在上面的条件下，令W ′ = V (αt+1 , · · · , αn ), W ′ 是W 的补子空间。当W 是σ −不 变子空间时，W ′ 一般不是σ −不变子空间时。如果W 有一个补子空间是σ −不变子空 间，则有： 定理. 设σ : V → V 是线性变换; V = W ⊕W ′ , 设α1 , · · · , αt 是W 的基，αt+1 , · ·( · , αn 是W ′ 的 ) A11 0 基。则W , W ′ 是σ −不变子空间当且仅当σ 在这组基下的矩阵具有准三角形式 . 0 A22 此时A11 , A22 分别是σ |W , σ |W ′ 在W , W ′ 的基α1 , · · · , αt ; αt+1 , · · · , αn 下的矩阵. 特别地，如果Wi i = 1, · · · , k 是σ −不变子空间且 V = W1 ⊕ · · · Wk , 则σ 在V 的基下的 A11 A22 . 矩阵具有准三角形式 Akk 二 特征多项式 定义. 设A ∈ Mn×n (C ), 称多项式fA (λ) = |λI − A|为矩阵A的特征多项式. 特征多项式的性质：