《二 一般形式的柯西不等式》教案
教学目标
1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重、难点
重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式. 难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式.
教学过程
一、复习引入：
定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立.
定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立. 定理3：(三角形不等式)设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-
二、讲授新课： 类似的，从空间向量的几何背景业能得到•αβαβ≤将空间向量的坐标代入，可得到
2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
当且仅当,αβ共线时，即0,β=或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立.
这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理(一般形式的柯西不等式)：设n 为大于1的自然数，i i b a ,(=i 1，2，…，n )为任
意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++L L L
即
2
11212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，其中等号当且仅当1212n n b b b k a a a ====L 时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ).
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=Λ
即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=n
i i n i i i n i i b x b a x a x f 1212
12)(2)()( 由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(41
2
1221
≤-=∆∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a ， 即：))(()(12
1221∑∑∑===≤n i i n
i i n i i i b a b a ， 等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a Λ， 即等号当且仅当n
n a b a b a b ===Λ2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ). 如果i a (n i ≤≤1)全为0，结论显然成立.
三、应用举例：
例1 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证
22221221)(1n n a a a a a a n
+++≤+++ΛΛ 例2 已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，证明
a 2 +
b 2+
c 2+
d 2>ab +bc +cd +da .
例3 已知x +2y +3z =1，求222x y z ++ 的最小值.
四、巩固练习：
1．设x ，y ，z 为正实数，且x +y +z =1，求z
y x 941++的最小值. 2．已知a +b +c +d =1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值.
3．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +3c =9，求c b a ++
23的最大值. 五、课堂小结
重点掌握三维柯西不等式的运用.。