2
t
2 t 2
HEB
0
理想介质（ 0 ）中的波动方程：
2
2 t 2
HEB
0
正弦稳态时变场中的波动方程：
采用时间相位因子 e jt ，则 t
j, 2
t 2
2 ，波动方程为
( 2
k
2
)
H B E
0
其中 k 为波数， k 2 ， 为波长。
H的导出方程：
（二）自由空间中Maxwell方程的解 --波方程解的导出
• 在洛仑兹规范下， A jf
• 矢量位的矢量姆霍兹方程 为 2A k2A J
• 标量位标量姆霍兹方程为
2f k 2f
1
J
j
• 在某些正交坐标系下，矢量姆霍兹方程可简化为 标量姆霍兹方程
2 Ax k 2 Ax J x
（三个）
e jkr r
可见，电磁波的等幅面和等相面重合，它们分布在r等于常 数的球面上。
• 根据能量守恒定理，随观察面与理想点源间距离的增 加，场强的振幅按1/r规律衰减。
• 一般来说，只要等相面为球面，电磁波就是球面波。
• 实际天线不是理想天线，它们都不能产生理想均匀球 面波。故A=A(, f)是方位角的函数，即天线有方向性。
H
(kˆ
A)e
jk r
相对于传播方向，均匀平面波的电场、磁场只有横向分量， 因此称为横电磁波或TEM波。
散射问题常用到角谱
理想均匀平面波只在单一方向传播，在角度域只有一条 谱。
复杂电磁波可分解为许多理想平面波的集合，表示成平 面波角谱PWS（plane wave spectrum）。
从数学上看，每个平面波都是一个d函数。
• 对于正弦稳态条件下的磁准静态场，动 态位方程（1-49）的相量形式即为
• 解耦情况下的动态标量位j在设定场空 间电荷密度=0的前提下，应满足拉普 拉斯方程，即
1.6.3 静态场中的位函数方程
• 在静态电场情况下，根据其基本方程组（1-19）、 （1-20），同理可以定义
– 式中，标量位函数j(r)称为电位函数。
• 在无电流区域中，静态磁场的基本方程（1-21） 变成
• 这样，就可以引入标量磁位函数jm(r)，而令
• 显然，标量磁位恒满足拉普拉斯方程
补充：（一）波方程的基本解
• 在均匀、各向同性区域，基本解有平面波、柱面波、球 面波。
• 基本术语：
– 等相面：在同一时刻，空间波动中相位相同的点连成的表面； – 等幅面：在同一时刻，空间波动中振幅相同的点连成的表面； – 平面波：等相面为平面的波； – 均匀平面波：等相面和等幅面重合的平面波； – 非均匀平面波：等相面与等幅面不重合的平面波； – 球面波：等相面为球面的波； – 柱面波：等相面为柱面的波。
– 动态向量位函数A(r, t) – 动态标量位函数j(r, t)
它们自动满足MAXWELL方程组中（1-3）和（1-2）。
• 但须知，引入位函数表示场量B和E，含有任意性的 成分。
– 因为如果令
– 则可给出同样的B和E。
• 位函数按照式（1-37）和（1-38）的变换，称为规范 变换，而保持B和E不变性，则称为规范不变性。
• 由此可导出简单而且对称的位函数方程组
• 上两式是分别关于动态向量位A和动态标量位j 的非齐次波动方程，常称为达朗贝尔方程。
• 这两个方程和式（1-39）（洛仑兹规范）一起构 成了与MAXWELL方程组等价的一个方程组。
• 对于时谐电磁场，场空间中各场点的动态 位A(r, t )和j (r, t)也可分别再用复相量表 示为 和 ，而相应的达朗贝尔方 程的相量形式就成为
• 由于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的 值，可以有无穷多组A和j的取值，即位函数不是唯 一的。
• 任意性可以导致随意规定，要采用规范对A的 散度施加约束条件。
• 规范的选择原则：
– １）唯一地确定相应的位函数值， – ２）可简化相应的位函数方程。
• 通常，对自由空间中的动态电磁场，引入如 下的洛仑兹规范：
1 K
m K 0
1 K
2
n 2 m
球面波
在球坐标下，引用赫兹位或德拜位，通过球坐标的波动方 程和分离变量法可得到球面波的解。
一个点源天线在远区产生球面波。
设理想点源处于球坐标的原点，球面波的基本解可表示为
E
A
e
jk r
r
与平面波不同，式中电磁波传播矢量的方向k和径向矢量r
的方向处处相同。因此球面波因子可表示为
正如复杂时间信号经过Fourier变换可表示为频谱一样， 空间场的平面波谱概念非常重要。
柱面波
产生简单理想柱面波的源为无限长电流线或磁流线
在无源区域，赫兹位的波方程为
2P
2P
0
t 2
令P z f, 则 f f ( , r)e j(thz)
可以证明有
fnhk e jn J n k 2 h 2 r e jthz
平面波
在均匀、各向同性区域，直角坐标系中的波方程的基本解 为均匀平面波。
平面波的简单表达式为
E(x,
y,
z, t)
A( x,
y, z)e j(tk r )
A( x,
y, z)e j(t kx xk y ykz z)
式 中 A aˆ1
E1
aˆ 2
E 2
;
aˆ1和aˆ 2 为极化基的两个正交的单位矢量;
– 而动态向量位A则与时变的电流分布相联系，从而 可选择涡流密度：
• 在以上分析基础上，依据基本方程（1-14）， 结合关系式（1-46）、（1-47），可得描述磁 准静态场的动态位方程为
– 上式兼容了场域中可能存在非线性媒质的一般情 况。
• 若场域中媒质为各向同性的线性媒质，则引 入库仑规范，式（1-48）可简化为
• 对于线性、均匀且各向同性媒质，设场 域中无自由电荷，则由式（1-1）取旋度， 并以：J=gE
E H
t
代入，便得
–由于 –代入（1-27），即得
• 同理可证
• 式（1-28）、（1-29）就是由一个场分量（H、 B、E、D）所描述的一般齐次波动方程。
• 在特定情况下，基于以上各场分量的导 出方程可进一步分别归结为 ：
• 可导得等价的位函数方程即泊松方程
• 在无电荷分布的场域中，位函数j应满足拉普拉斯方 程
• 在静态磁场情况下，根据其基本方程组（1-21）、 （1-22），同样可定义向量磁位函数A(r)，满足
• 从而等价的向量磁位函数的双旋度方程为
• 若场域中媒质为各向同性的线性媒质，则计入库仑规 范，式（1-56）可简化为向量形式的泊松方程
• 引入多种辅助函数，即位函数（如电 位），然后由源（如电荷）求位函数， 再由位函数计算电场或磁场。
• 位函数有：
– 矢量位A， – 标量位f， – 赫兹（Herz）矢量位P
• 位函数定义如下(周希朗）
矢量磁位A :
B A
矢量电位A* :
标量电位f :
D
E f
A* A
标量磁位f * :
1.5 场向量的微分方程-波动方程
• MAXWELL微分方程组，在数学上
– 多重耦合、 – 多变量、 – 求解困难.
• 一般先导出由单个场向量所给定的解耦的微 分方程。
– 由MAXWELL方程组导出由场向量H、B、E、D 或J所满足的偏微分方程。
无源区域（ J＝0, 0 ）的一般化齐次波动方程：
f nhk
e
jn
H
(1) n
k 2 h 2 r e jthz
式中,
J
n
和H
(1) n
分别为第一类n阶Bessel函数和第一类n阶Hankel函数
Bessel函数的级数表达式为
J
p
(
)
m0
m!
(1) m (pm
1)
2
p2m
Hankel函数为
H
(1) p
(
)
J
p()
jN p ()
H
(2) p
E1和E 2为复振幅
直角坐标的波数矢量为 : k kˆk xˆk x yˆk y zˆk z
kˆ为电磁波传播方向的单位向量, k 2 / 为波数
如略去时间因子，即用复矢量表示，则平面波电场为
E(x, y, z) A(x, y, z)e jk r
由Maxwell方程，可得平面波磁场的表达式
故在球坐标系中，引入德拜（Deby）位，
e
P er r
m
P mr r
式中, e为电德拜位, n为磁德拜位, P er为赫兹电位的r分量, P mr 为赫兹磁位的r分量
1.6.1 动态场中的动态位方程
• 由任意向量旋度的散度与任意标量梯度的旋度均恒等 于零，对动态电磁场，可验证有
以上两式分别定义了：
– 式中：V 1/ ，称为相位速度；为正弦激励 的角频率。
1.6.2 磁准静态场中的动态位方程
• 对于磁准静态场，在忽略位移电流的前提下，式（139）即成为
– 上式A的散度是施加的约束条件，被称为库仑规范。
• 相应地，式（1-40）也就简化为
• 但注意，由于此时在导电媒质内伴随有涡流与集肤效 应，因而无从预先给定截流导体内电流密度J的分布。 换句话说，不可能依据式（1-45）直接求解动态位A。
E
f
*
t
A*
赫兹电位P :
A
P
,
t
f P
赫兹磁位P * :
A*
t
P
*
,
f * P *
t
Lorentz条件
: