（5 - 8 ）
在流量—密度相关曲线上， 在流量—密度相关曲线上，集 散波的波速就是割线的斜率、微弱波 散波的波速就是割线的斜率、 流量和密度非常接近） （流量和密度非常接近）的波速就是 切线的斜率。如图所示， 切线的斜率。如图所示，当车流从低 密度低流量的A 密度低流量的A状态转变的高密度高 流量的B状态时， 流量的B状态时，集散波的波速是正 的，即波沿道路前进。当车流从低流 即波沿道路前进。 量高密度的C 量高密度的C状态转变到高流量而密 度较低的B状态时， 度较低的B状态时，集散波的波速是 负的，即波沿道路后退。 负的，即波沿道路后退。从A状态到 状态的波是集结波。而从B状态到A B状态的波是集结波。而从B状态到A 状态的波是消散波，两者都是前进波。 状态的波是消散波，两者都是前进波。 状态到C状态的波是集结波， 从B状态到C状态的波是集结波，从C 状态到B状态的波为消散波， 状态到B状态的波为消散波，两者都 是后退波。 是后退波。
（5-3）
q = ku
∂k ∂ ( ku ) + = 0 ∂t ∂x
（5-4）
上式表明，当车流量随距离而降低时， 上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则随 时间而增大。 时间而增大。
二、车流波动理论 交通车流和一般的流体一样， 交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形 式路段，车流发生紊乱拥挤现象， 式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 阻止车流前进，降低车速。如图5 阻止车流前进，降低车速。如图5-1。
第五节
交通流的流体力学模拟理论
2、车流连续性方程的建立 假设车辆顺次通过断面I II的时间间隔为 的时间间隔为Δ 假设车辆顺次通过断面I和II的时间间隔为Δt，两断 面的间距为Δ 面的间距为Δx。
q k ∆x I II
车流在断面I的流入量为q 密度为k 车流在断面II 车流在断面I的流入量为q，密度为k。车流在断面II 的流出量为(q+ q)，密度为(k (q+Δ (k- k)。 的流出量为(q+Δq)，密度为(k-Δk)。 Δk前面加一负 表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。 号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。
车辆波动图
三、车流波动理论的应用 知某快速干道上车流速度(KM/h)与密度( (KM/h)与密度 例1：知某快速干道上车流速度(KM/h)与密度(辆/KM) 具有： 之关系。 具有：u 0.103 = 1.547 − 0.00256 K 之关系。现知一列 =50KM/h的车流中插入一 =12KM/h的低速车 的车流中插入一u 的低速车， u1=50KM/h的车流中插入一u2=12KM/h的低速车，并不能超 车而集结形成速度为u 拥挤车流。此低速车在行驶2KM 2KM后 车而集结形成速度为u2拥挤车流。此低速车在行驶2KM后 离去，拥挤车队随之离散形成具有速度u3=30KM/h的状态。 u3=30KM/h的状态 离去，拥挤车队随之离散形成具有速度u3=30KM/h的状态。 试求: 试求: 拥挤车队消散的时间ts ts； 1．拥挤车队消散的时间ts； 拥挤车队持续的时间tj tj； 2．拥挤车队持续的时间tj； 3．拥挤车队最长时的车辆数Nm； 拥挤车队最长时的车辆数Nm； Nm 拥挤车辆的总数N 4．拥挤车辆的总数N； 拥挤车辆所占用过的道路总长度L 5．拥挤车辆所占用过的道路总长度L； 车流速度从Vl降低至V2而延误的总时间T Vl降低至V2而延误的总时间 6．车流速度从Vl降低至V2而延误的总时间T。
t x V1t
l 2 + v1t = v 2 t + l1
故集散波从第一辆车传到第二辆车所 需时间为: 需时间为 图5-3 车队前三辆车运行轨迹 l −l t= 2 1 （5 - 5 ） v 2 − v1
又因x = tv1 − l1，于是有
波速: 波速
l1 l1 (v 2 − v1 ) l 2 v1 − l1v 2 x W = = − + v1 = − + v1 = t t l 2 − l1 l 2 − l1 v1 v 2 − k v − k 2 v 2 Q1 − Q2 l l2 = 1 = 1 1 = 1 1 k1 − k 2 k1 − k 2 （5 - 6 ） − l1 l 2
如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近， 如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则： dQ W = （5 - 7 ） dk 集散波总是从前车向后车传播的， 集散波总是从前车向后车传播的，把单位时间内集散波所掠过的 车辆数称为波流量 波流量。 车辆数称为波流量。
Qw V 2 − V1 = 1 1 − k2 k1
车队运行状态变化图为在时间车队运行状态变化图为在时间-空间 为在时间 坐标系下表示的一队n 坐标系下表示的一队n辆车的运行状态变 化图。 化图。图中每根曲线表示一辆车运行的时 空间轨迹， 间—空间轨迹，曲线间的水平距离表示车 头时距，垂直距离表示车头间距， 头时距，垂直距离表示车头间距，两条虚 线分隔出I II和III三个时间 空间区域。 三个时间— 线分隔出I、II和III三个时间—空间区域。 在区域I 车速最高而密度最低。 在区域I内，车速最高而密度最低。进人 区域II II后 车速明显降低而密度明显升高。 区域II后，车速明显降低而密度明显升高。 进入区域III III后 进入区域III后，速度有所回升而密度有 所下降。 所下降。虚线与运行轨迹的交点就是车队 密度不同的两部分的分界( 密度不同的两部分的分界(对某一确定时 刻而言) 刻而言)，而虚线则表示此分界既沿车队 向后一辆辆地传播下去， 向后一辆辆地传播下去，又沿着道路而移 虚线的斜率就是波速。虚线AB AB是低密 动，虚线的斜率就是波速。虚线AB是低密 度状态向高密度状态转变的分界， 度状态向高密度状态转变的分界，它所体 图5-2 车队运行状态变化图 现的车流波称为集结波； AC是高密度状 现的车流波称为集结波；而AC是高密度状 态向低密度状态转变的分界， 态向低密度状态转变的分界，它所体现的 车流波称为疏散波， 车流波称为疏散波，两种不同的车流波可 统称为集散波。 统称为集散波。
Q2 − Q1 1200 − 1000 w1 = = = 2.5( Km / h) K 2 − K1 100 − 20
由状态2转变到状态3形成消散波，记其波速为w2 由状态2转变到状态3形成消散波，记其波速为w2
w2 = Q3 − Q2 1500 − 1200 = = −6( Km / h) K3 − K 2 50 − 100
2、波速（集散波集结和消散的 波速（ 速度） 速度） 这个车队从速度V 密度K 这个车队从速度V1、密度K1，(对 应于车间距离l 转变到速度V 应于车间距离l1)转变到速度V2、密度 对应于车间距离l K2(对应于车间距离l2)。O为第一辆车 的变速点， 为第二辆车的变速点、 的变速点，A为第二辆车的变速点、 虚线OA的斜率就是集散波的波速。 OA的斜率就是集散波的波速 虚线OA的斜率就是集散波的波速。 V2t 设变速点A的时刻为t 位置为x 设变速点A的时刻为t，位置为x，则：
第四章 交通流理论
第五节 交通流的流体力学模拟理论
第五节Biblioteka 交通流的流体力学模拟理论一、引言 1、流体动力学理论建立 1955年 1955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种 流体，对一条很长的公路隧道， 流体，对一条很长的公路隧道，研究了在车流密度高的情况下 的交通流规律，提出了流体动力学模拟理论 该理论运用流体 流体动力学模拟理论。 的交通流规律，提出了流体动力学模拟理论。该理论运用流体 动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续 动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程， 的基本原理 性方程。把车流密度的变化， 性方程。把车流密度的变化，比拟成水波的起伏而抽象为车流 当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时， 波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在 车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的传播速度， 车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的传播速度，以寻 求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤— 求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤—消 散过程。因此，该理论又可称为车流波动理论。 散过程。因此，该理论又可称为车流波动理论。
流体动力学模拟理论是一种宏观模型， 流体动力学模拟理论是一种宏观模型，它假定车流中各个 车辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样， 车辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样，这与实际是不 相符的尽管如此， 相符的尽管如此，该理论在分析交通流流体状态比较明显 的场合，比如在分析瓶颈路段的车辆拥挤问题时， 的场合，比如在分析瓶颈路段的车辆拥挤问题时，还比较 实用。 实用。
受拥挤的N辆车的时间— 受拥挤的N辆车的时间—空 间运行轨迹线如图中的N 间运行轨迹线如图中的N条 折线所示。虚线OB OB的斜率等 折线所示。虚线OB的斜率等 w1，虚线AB的斜率等于w2 AB的斜率等于w2， 于w1，虚线AB的斜率等于w2， xB、tB表示图中 表示图中B 以xB、tB表示图中B点的空 间坐标和时间坐标， 间坐标和时间坐标，其它各 点亦然。从图看出， t0到 点亦然。从图看出，从t0到 tA，拥挤车队愈来愈长， tA，拥挤车队愈来愈长，最 长时占路长度等于xA xc， xA长时占路长度等于xA-xc， 过了时刻tA tA， 过了时刻tA，拥挤车队愈来 愈短，到时刻tB tB拥挤完全消 愈短，到时刻tB拥挤完全消 很自然应把时段tB tB除，很自然应把时段tB-tA 称为消散时间ts.由于N ts.由于 称为消散时间ts.由于N条折 车辆运行时间车辆运行时间-空间轨迹图 线的斜率表示车速， 线的斜率表示车速，易得 x 2 tA = A = = 0 . 167 h v 2 12
又： 解得： 解得： 所以： 所以：
x B = w1 (t A + t s ) = 2 + w2 t s