博弈论考试试题
你有三个小时考试时间。

回答所有问题。

考试内容比较多，我在认为最难的问题旁边标注了星号，如果你担心不够时间，可以把这些带星号的问题留到最后才做。

1．（55分钟—36分）简略回答下面每个子问题。

请写出你的计算过程，并在你不能给出正式结论时，提供大概的解释，那样我可以给你部分分数。

（a）尽可能给出正式的说明，指出一个观察到的行为是无穷连续的多级博弈意味什么？给出一个不是无穷连续博弈的例子。

（b）尽可能给出正式的说明，指出一个一般性支持的性质意味着什么？在课上我们看到什么理论关于一般性支持的性质？
（c）课堂上，在说明带有可观察行为的有限扩展型博弈和无限期多级博弈时，我不同地详细讲述了支付函数。

支付函数范畴是如何不同？为什么我做出这个改变？
（d）在扩展型博弈中给出一个策略的正式定义。

（e）给出一个博弈的例子，其中一个看起来不合理的结果在一个子博弈完美均衡里变成可能。

（f）下面显示的扩展型博弈里，博弈者1有多少个纯策略？写出正常形式的支付矩阵。

这个博弈有多少子博弈？
（g）找出下面博弈中全部的纳什均衡。

（h ）找出二阶段博弈的子博弈完美均衡，博弈者在成本a/16处选择a ，于是博弈者1和2同时行动进行博弈，如下面所示。

（i ）找出同时行动博弈中的纳什均衡，其中博弈者1选择1a ∈ℜ，博弈者2选择2a ∈ℜ，支付是，
考虑如下的关于信任的博弈，这在很多试验中都做过。

试验者从给博弈者1$10和给博弈者2$0开始。

然后试验者问博弈者1愿意将多少美元给博弈者2来帮助他。

如果他选择给x美元给试验者，则试验者给博弈者2 *3x。

随后，博弈者2有机会将一些或全部（或没有）他获得的钱给博弈者1。

（a）假定这两个博弈者都是风险中性的，仅关心他们自己的支付，找出这个博弈的子博弈完美均衡。

（顺便说明，子博弈完美均衡不像在试验中出现。

通常博弈者1给出一些，但不会把全部的钱给回试验者）
(b) 这个博弈有博弈者获得更高支付的纳什均衡吗？
（c）假定我们修改了博弈，以致在上述的两阶段后，博弈者1有机会打博弈者2。

假定这将减少博弈者1的效用1美元，减少博弈者2的效用5美元。

这将改变你们在（a）和（b）中的答案吗？如果我们在第二阶段后有如下显示的博弈会怎么样呢？作个你认为合理的预测。

（d*）对这个试验结果的另一个解释是，博弈者可以是无私心的。

说明无私心的最简单表达——每个博弈者最大化他自己的美元支付和其他博弈者美元支付的权重和——除了权重上一个特别（非强迫）的选择，不能解释试验规则性。

你能想出可能被用来说明试验结果的效用函数吗？
两个司机在高速路上的邻近路线上并行行驶。

这两个通道持续变窄，当他们驶向一个建筑工地时两台车越来越近。

如果两个都不减速，将会一个从后撞上另一个，在下一分钟内他们将碰撞。

（a ）为了当作一个简单正常形式的博弈来模拟这个情况，假定如果另一个司机没有减速的话，两个博弈者将同时选择他或她减速时间为[0,1]i t ∈。

假定如果碰撞发生，每个博弈者i 获得支付-1；如果没有碰撞，且博弈者i 在另一博弈者后面停下来，则支付为0；如果没有碰撞，博弈者i 在另一博弈者前面停下来，则支付为1。

假设车相撞的概率是12min(,)t t ，也就是说，如果没有车减速，碰撞发生时间是[0，1]上的均匀分布。

（注意，对一个发生概率为1，规定危险率为t （在t 前没有相撞的条件下，相撞的可能性在t 和t+dt 之间）的碰撞而言，当t 接近1时一定是无穷的。

这里只要两辆车没有减速，则危险率是1/（1-t ），如果有一辆减速，则危险率为0。

）
证明这个博弈有无穷数量的不对称纯策略纳什均衡。

如果你能证明，再证明没有其它的纯策略纳什均衡。

（b*）找出一个博弈者混在间隔[0,]t 内的对称混合策略纳什均衡。

（c ）考虑这个博弈的不完全信息版本。

为了简化，假定仅有两个时间司机可以减速。

每个司机i 必须在0i t =或1i t =采取减速。

假定如果发生碰撞，司机i 获得支付为i θ；如果没有碰撞且司机i 先减速或和另一司机同时减速则支付为0；如果没有发生碰撞，司机i 在另一个司机减速后再减速（仅如果1/2i t =且0i t -=才会发生）则支付为1。

同前面公式一致，假定如果在t=0处至少一个司机减速则发生碰撞的概率为0，如果都在t=1/2处减速则概率为1/2。

假定只有博弈者i 知道i θ。

假定12,θθ相互独立。

假定1θ的概率为1/3时等于-0.5，概率为2/3时等于-2。

假定2θ概率为2/5时等于-3，概率为3/5时博弈者2的确宁肯相撞也不减速，有20.2θ=。

找出这个博弈的贝叶斯纳什均衡。

考虑下面的博弈。

有两个博弈者。

博弈者1是泰森（Mike Tyson）。

博弈者2是另一个重量级拳击手，比如Buster Douglas。

出于设问的目的，假设如果泰森训练刻苦且体形不错，则他可以足够击败或可能严重击伤Buster Douglas。

如果他显得肥胖或体形走样，则他不足以打败Buster Douglas。

泰森是否进行刻苦训练不是他做出的一个策略选择，这完全依赖于在合约签订和对垒之间他的精神状态，这是超出每个人的控制范围的。

假定（这使问题变的没那么实际）泰森非常明白他心理问题现在的状态，以及在训练中他将面对的诱惑。

特别地，假定当对垒合约将要签订时，泰森已经知道他是否要刻苦训练。

Buster Douglas不知道。

Douglas的先验是泰森训练刻苦的概率为2/3。

假定恰恰在合约签订前，刘易斯（Lenox Lewis）在新闻发布会上表示，如果Douglas肯放弃与泰森的对垒，则将获得1百万美元（那样之后泰森与刘易斯对垒时，泰森肯定是冠军）。

泰森将有机会同Douglas做出两种表述之一：“你应该拿钱，因为我将刻苦训练，然后打你的……＂或“我现在看起来很肥胖，体形不好，所以你最好不要拿那钱，在这次对垒中打我，在后面的重赛中获取一千万美元＂。

Buster Douglas则必须决定是否接受刘易斯的出价而不与泰森对垒，或拒绝出价并与泰森对垒。

假定如果Douglas接受，泰森的支付为0，Douglas为1。

假定如果Douglas拒绝刘易斯的出价而对垒泰森，则如果泰森刻苦训练，则泰森的支付为2，Douglas为-2；如果泰森不刻苦训练，则泰森的支付为-2，Douglas为10。

（a）形式地描述，你怎样将这个情况作为在泰森和Douglas（自然也包括在博弈树里，但不包括刘易斯）之间的不完全信息动态博弈进行阐述。

明确是什么类型的空间，画出博弈树状图。

（b）证明如果且仅如果泰森刻苦训练时，在泰森真实地做出第一种表述中没有分离均衡。

（c）泰森宣称他将刻苦训练但不考虑这是否真实时，存在混同均衡吗？
（d*）尽力完整描述这个模型的准分离均衡集合。

这的准分离均衡是我在课上讨论的准分离均衡中的一种吗？。