河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知全集R ，22x x -≥，则 A.{}20x x -<<B.{}20x x -≤≤ C.{}20x x x <->或D.{}20x x x ≤-≥或3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A.11B.12C.13D.145.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x = A.ln x xB.()ln x x -C.ln x x -D.()ln x x --6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和直线:143x y l +=，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为A.45B.35C.34D.157.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =A.1233AD AB - B.2133AD AB + C.2133AD AB - D.1233AD AB + 8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A.有四个两两全等的面B.有两对相互全等的面C.只有一对相互全等的面D.所有面均不全等9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A.413C.92610.已知函数(),0,ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是A.1a >-B.11a -<<C.01a <≤D.1a <11.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为A.y =B.y =C.y x =±D.2y x =±12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连结1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D 所成角为α，则sin α的最大值为A.2B.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数x ，y 满足约束条件10,240,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为________.14.已知数列{}n a ，若数列{}13n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a 的值为________.15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.16已知函数()sin 232f x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=-++-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像关于直线2x =对称，当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为____________.三、解答题：共70分。

解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）如图，在ABC ∆中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=. （1）求BP 的长； （2）若AC =，求cos ACP ∠的值.18.（12分）在ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==，如图1.以DE 为折痕将ADE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，如图2.（1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ；（2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值。

如图1如图219.（12分）某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[]100,150内，且其频率y 满足1020ny a =-（其中()10101n x n ≤<+，*n N ∈）.（1）求a 的值；（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.20.(12分）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，()02,A y 是E 上一点，且2AF =. （1）求E 的方程；（2）设点B 是上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.21.(12分）已知函数()()1ax f x e x a R =--∈. （1）当1a =时，求证：()0f x ≥； （2）讨论函数()f x 的零点的个数。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2,π，PM PN +=a 的值. 23.［选修4-5：不等式选讲］（10分） 已知函数()2f x x =-.（1）求不等式()()13f x xf x +<+的解集；（2）若函数()()()2log 32g x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的值域为R ，求实数a 的取值范围.参考答案及解析河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考·理科数学一、选择题1.D 【解析】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D.2.C 【解析】由22x x -≥，得220x x +≤，解得20x -≤≤.所以.故选C.3.D 【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.4.C 【解析】由10100S =及公差为2.得11a =.所以21n a n =-，故713a =.故选C.5.B 【解析】设0x <，则0x ->，所以()()ln f x x x -=--.又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()ln f x x x =-.故选B.6.A 【解析】直线l 的斜率为34-，所以34b c =，又222b c a +=，所以45c e a ==，故选A.7.C 【解析】()11213333ED EA AD AC AD AD AB AD AD AB =+=-+=-++=-.故选C.8.B 【解析】几何体的直观图为四棱锥P ABCD -.如图.因为AD AB =，PA PA =，90BAP DAP ∠=∠=︒.所以ABP ∆≌ADP ∆.因为BC ⊥平面ABP ，所以BC BP ⊥.同理，CD DP ⊥.因为BP DP =，CD BC =，CP CP =，所以BCP ∆≌DCP ∆.又ABP ∆与BCP ∆不全等.故选B.9.A 【解析】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得AB =所以DF AB =所以所求概率为2413DEF ABC S S ∆∆=. 故选A.10.C 【解析】画出函数()f x 的图像如图所示，由图可知10a -≤-<，所以01a <≤.故选C.11.A 【解析】如图，作1OA F M ⊥于点A .21F B F M ⊥于点B .因为1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒，所以OA a =，22F B BM a ==，2F M =，12F B b =.又点M 在双曲线上.所以12222F M F M a b a -=+-=.整理，得b =.所以ba=所以双曲线的渐近线方程为y =。