历年高考数学真题精选（按考点分类）专题七 函数的性质（学生版）一．选择题（共21小题）1．（2017•北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()(f x )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数2．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．cos2y x =，x R ∈B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠C ．,2x xe e y x R --=∈D ．31y x =+，x R ∈3．（2017•天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．（2015•天津）已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．（2013•天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]6．（2009•山东）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．(25)(80)(11)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(11)(80)f f f -<<7．（2009•陕西）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x -->．则当*n N ∈时，有( )A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-8．（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(1-，0)(1⋃，)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(0⋃，1)9．（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f （6）(= ) A ．2- B ．1 C ．0 D ．210．（2013•湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为()A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数11．（2009•重庆）已知函数()f x 周期为4，且当(1x ∈-，3]时，(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．，8)3B ．C ．4(3，8)3D ．4(312．（2004•天津）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当[0x ∈，]2π时，()sin f x x =，则5()3f π的值为( )A ．12-B ．12C ．D 13．（2018•全国）2()(32)f x ln x x =-+的递增区间是( ) A ．(,1)-∞B ．3(1,)2C ．3(2，)+∞D ．(2,)+∞14．（2015•全国）设函数212log (45)y x x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为() A ．2B ．1C ．1-D ．2-15．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m16．（2017•山东）若函数()( 2.71828x e f x e =⋯是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A ．()2x f x -=B ．2()f x x =C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =17．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是( ) A ．1(,)2-∞B ．(-∞，13)(22⋃，)+∞C ．1(2，3)2D ．3(2，)+∞18．（2013•天津）已知函数()(1||)f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11[,]22A -⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．13(0,)2+ D ．(-∞ 19．（2017•新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若f （1）1=-，则满足1(2)1f x --的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[1-，1]C ．[0，4]D ．[1，3]20．（2017•全国）函数()y f x =的图象与函数(1)y ln x =-的图象关于y 轴对称，则()(f x =)A ．(1)ln x --B ．(1)ln x -+C ．(1)ln x --D ．(1)ln x +21．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1()(mi i i x y =+=∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m二．填空题（共8小题）22．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 ．23．（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，f （2）0=，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是 ．24．（2016•全国）定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，则(25)f = ．25．（2012•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1]上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩其中a ，b R ∈．若13()()22f f =，则3a b +的值为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题七 函数的性质（教师版）一．选择题（共21小题）1．（2017•北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()(f x )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【解析】1()3()333x x x x f x -=-=-，()33()x x f x f x -∴-=-=-，即函数()f x 为奇函数，又由函数3x y =为增函数，1()3x y =为减函数，故函数1()3()3x x f x =-为增函数，2．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．cos2y x =，x R ∈B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠C ．,2x xe e y x R --=∈D ．31y x =+，x R ∈【答案】B【解析】对于A ，令()cos2y f x x ==，则()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==，为偶函数，而()cos2f x x =在[0，]2π上单调递减，在[2π，]π上单调递增，故()cos2f x x =在(1，]2π上单调递减，在[2π，2)上单调递增，故排除A ；对于B ，令2()log ||y f x x ==，x R ∈且0x ≠，同理可证()f x 为偶函数，当(1,2)x ∈时，22()log ||log y f x x x ===，为增函数，故B 满足题意；对于C ，令(),2x xe e yf x x R --==∈，()()f x f x -=-，为奇函数，故可排除C ；而D ，为非奇非偶函数，可排除D ；故选：B ．3．（2017•天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】奇函数()f x 在R 上是增函数，221(log )(log 5)5a f f ∴=-=，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，又0.822122log 4.1log 5<<<<，0.822(2)(log 4.1)(log 5)f f f ∴<<，即c b a <<．4．（2015•天津）已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】()f x 为偶函数；()()f x f x ∴-=；||||2121x m x m ---∴-=-；||||x m x m ∴--=-；22()()x m x m --=-；0mx ∴=；0m ∴=；||()21x f x ∴=-；()f x ∴在[0，)+∞上单调递增，并且0.52(|log 3|)(log 3)a f f ==，2(log 5)b f =，(0)c f =； 220log 3log 5<<；c a b ∴<<．故选：C ．5．（2013•天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，则212(log )(log )2f a f a f +（1）为：2(log )f a f （1），因为函数()f x 在区间[0，)+∞上单调递增，所以2|log |1a ，解得122a ， 则a 的取值范围是1[2，2]，故选：A ．6．（2009•山东）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．(25)(80)(11)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(11)(80)f f f -<<【答案】A【解析】(4)()f x f x -=-，(8)(4)()f x f x f x ∴-=--=，即函数的周期是8，则(11)f f =（3）(34)(1)f f f =--=--=（1），(80)(0)f f =，(25)(1)f f -=-， ()f x 是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，()f x ∴在区间[2-，2]上是增函数，(1)(0)f f f ∴-<<（1），即(25)(80)(11)f f f -<<，故选：A ． 7．（2009•陕西）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x -->．则当*n N ∈时，有( )A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-【答案】C【解析】1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x --> 21x x ∴>时，21()()f x f x >()f x ∴在(-∞，0]为增函数()f x 为偶函数()f x ∴在(0,)+∞为减函数，而110n n n +>>-， (1)()(1)f n f n f n ∴+<<-，(1)()(1)f n f n f n ∴+<-<-8．（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(1-，0)(1⋃，)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(0⋃，1)【答案】D【解析】由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，即x 与()f x 异号，而f （1）0=，则(1)f f -=-（1）0=，又()f x 在(0,)+∞上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上也为增函数， 当01x <<时，()f x f <（1）0=，得()0f x x<，满足； 当1x >时，()f x f >（1）0=，得()0f x x>，不满足，舍去； 当10x -<<时，()(1)0f x f >-=，得()0f x x<，满足； 当1x <-时，()(1)0f x f <-=，得()0f x x>，不满足，舍去； 所以x 的取值范围是10x -<<或01x <<．故选：D ．9．（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f （6）(= ) A ．2- B ．1 C ．0 D ．2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-， ∴当12x >时，(1)()f x f x +=，即周期为1．f ∴（6）f =（1）， 当11x -时，()()f x f x -=-，f ∴（1）(1)f =--，当0x <时，3()1f x x =-，(1)2f ∴-=-，f ∴（1）(1)2f =--=，f ∴（6）2=． 10．（2013•湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为()A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【答案】D 【解析】()[]f x x x =-，(1)(1)[1]1[]1[]()f x x x x x x x f x ∴+=+-+=+--=-=，()[]f x x x ∴=-在R 上为周期是1的函数．故选：D ．11．（2009•重庆）已知函数()f x 周期为4，且当(1x ∈-，3]时，(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．，8)3B ．C ．4(3，8)3D ．4(3【答案】B【解析】当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)11(0)y x y m -+==相交，而与第三个半椭圆222(8)11y x m -+==(0)y 无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)11y x m -+==(0)y 得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m ，同样由3x y =与第三个椭圆222(8)11y x m -+==(0)y 由△0<可计算得m <，综上可知m ∈故选：B ．12．（2004•天津）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当[0x ∈，]2π时，()sin f x x =，则5()3f π的值为( )A ．12-B ．12C ．D 【答案】D 【解析】()f x 的最小正周期是π55()(2)()333f f f ππππ∴=-=-函数()f x 是偶函数5()()sin 333f f πππ∴===．故选：D ． 13．（2018•全国）2()(32)f x ln x x =-+的递增区间是( ) A ．(,1)-∞ B ．3(1,)2C ．3(2，)+∞D ．(2,)+∞【答案】D【解析】令232(1)(2)0t x x x x =-+=-->，求得1x <或2x >，故函数的定义域为{|1x x <或2x >}，()f x lnt =，本题即求函数t 在定义域内的增区间． 结合二次函数的性质可得函数t 在定义域内的增区间为(2,)+∞，故选：D ．14．（2015•全国）设函数212log (45)y x x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为() A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】可令245t x x =++，由12()log f x t =在(0,)+∞递减，可得245t x x =++在(,)a +∞是增函数，且0t >在(,)a +∞恒成立，可得2a -且2450a a ++，解得2a -，则a 的最小值是2-．故选：D ．15．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，函数2|23|y x x =--的图象也关于直线1x =对称， 故函数2|23|y x x =--与()y f x = 图象的交点也关于直线1x =对称，故122mi i mx m ==⨯=∑，故选：B ．16．（2017•山东）若函数()( 2.71828x e f x e =⋯是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A ．()2x f x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【答案】A【解析】当()2x f x -=时，函数()()2x x ee f x =在R 上单调递增，函数()f x 具有M 性质，17．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是( ) A ．1(,)2-∞B ．(-∞，13)(22⋃，)+∞C ．1(2，3)2D ．3(2，)+∞【答案】C 【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减． |1|20a ->，(f f =，1|1|222a -∴<．1|1|2a ∴-<，解得1322a <<．故选：C ． 18．（2013•天津）已知函数()(1||)f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11[,]22A -⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．13(0,)2+D ．(-∞ 【答案】A【解析】取12a =-时，1()||2f x x x x =-+，()()f x a f x +<，11()||1||22x x x x ∴--+>， （1）0x <时，解得304x -<<；（2）102x 时，解得102x ；（3）12x >时，解得1524x <<， 综上知，12a =-时，3(4A =-，5)4，符合题意，排除B 、D ；取1a =时，()||f x x x x =+， ()()f x a f x +<，(1)|1|1||x x x x ∴+++<，（1）1x <-时，解得0x >，矛盾；（2）10x -，解得0x <，矛盾；（3）0x >时，解得1x <-，矛盾；综上，1a =，A =∅，不合题意，排除C ，故选：A ．19．（2017•新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若f （1）1=-，则满足1(2)1f x --的x 的取值范围是( )A ．[2-，2]B ．[1-，1]C ．[0，4]D ．[1，3] 【答案】D【解析】函数()f x 为奇函数．若f （1）1=-，则(1)1f -=，又函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，1(2)1f x --， f ∴（1）(2)(1)f x f --，121x ∴--，解得：[1x ∈，3]， 故选：D ．20．（2017•全国）函数()y f x =的图象与函数(1)y ln x =-的图象关于y 轴对称，则()(f x =)A ．(1)ln x --B ．(1)ln x -+C ．(1)ln x --D ．(1)ln x + 【答案】C【解析】根据题意，函数()y f x =的图象与函数(1)y ln x =-的图象关于y 轴对称， 则有()(1)f x ln x -=-，则()(1)f x ln x =--；故选：C ．21．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1()(m i i i x y =+=∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=， 可得()f x 关于点(0,1)对称，函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点(0,1)对称， 即有1(x ，1)y 为交点，即有1(x -，12)y -也为交点，2(x ，2)y 为交点，即有2(x -，22)y -也为交点，⋯则有11221()()()()mi i m m i x y x y x y x y =+=++++⋯++∑111122221[()(2)()(2)()(2)]2m m m m x y x y x y x y x y x y =++-+-+++-+-+⋯+++-+-m =． 二．填空题（共8小题）22．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 ． 【答案】1(2，3)2【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，()f x ∴在区间[0，)+∞上单调递减，则|1|(2)(a f f ->，等价为|1|(2)a f f ->，即|1|2a -<1|1|2a -<，即1322a <<，故答案为：1(2，3)223．（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，f （2）0=，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是 ．【答案】(1,3)- 【解析】偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，f （2）0=，∴不等式(1)0f x ->等价为(1)f x f ->（2），即(|1|)f x f ->（2），|1|2x ∴-<， 解得13x -<<，故答案为：(1,3)-24．（2016•全国）定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，则(25)f = ．【答案】0 【解析】定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8， 当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，(25)(831)f f f ∴=⨯+=（1）(1)110f =-=-+=． 故答案为：0．25．（2012•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1]上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩其中a ，b R ∈．若13()()22f f =，则3a b +的值为 ． 【答案】10-【解析】()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩，311()()1222f f a ∴=-=-，14()23b f +=；又13()()22f f =，14123b a +∴-=① 又(1)f f -=（1），20a b ∴+=，②由①②解得2a =，4b =-；310a b ∴+=-．故答案为：10-．。